Giải tích Ví dụ

$y = \frac{\sin (3 x^{2})}{\log (\cos (3 x))}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = \sin (3 x^{2})$ và $g (x) = \log (\cos (3 x))$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \frac{d}{d x} [\sin (3 x^{2})] - \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [\log (\cos (3 x))]}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 3 x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $3 x^{2}$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x^{2}]) - \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [\log (\cos (3 x))]}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\sin (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\cos (u_{1})$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x^{2}]) - \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [\log (\cos (3 x))]}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $3 x^{2}$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) (\cos (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2}]) - \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [\log (\cos (3 x))]}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{2}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [\log (\cos (3 x))]}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (3 (2 x)) - \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [\log (\cos (3 x))]}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Bước 3.3

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) - \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [\log (\cos (3 x))]}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \log (x)$ và $g (x) = \cos (3 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $\cos (3 x)$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) - \sin (3 x^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\log (u_{2})] \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Bước 4.2

Đạo hàm của $\log (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{u_{2} \ln (10)}$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) - \sin (3 x^{2}) (\frac{1}{u_{2} \ln (10)} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\cos (3 x)$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) - \sin (3 x^{2}) (\frac{1}{\cos (3 x) \ln (10)} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Bước 5

Kết hợp $\frac{1}{\cos (3 x) \ln (10)}$ và $\sin (3 x^{2})$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) - \frac{\sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Bước 6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{3}$ ở dạng $3 x$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) - \frac{\sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)} (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [3 x])}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Bước 6.2

Đạo hàm của $\cos (u_{3})$ đối với $u_{3}$ là $- \sin (u_{3})$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) - \frac{\sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)} (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [3 x])}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Bước 6.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{3}$ với $3 x$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) - \frac{\sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)} (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Bước 7

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) + 1 \frac{\sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)} (\sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Bước 7.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Nhân $\frac{\sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)}$ với $1$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) + \frac{\sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)} (\sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Bước 7.2.2

Kết hợp $\sin (3 x)$ và $\frac{\sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)}$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) + \frac{\sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)} \frac{d}{d x} [3 x]}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Bước 7.3

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) + \frac{\sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)} (3 \frac{d}{d x} [x])}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Bước 7.4

Kết hợp $3$ và $\frac{\sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)}$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) + \frac{3 (\sin (3 x) \sin (3 x^{2}))}{\cos (3 x) \ln (10)} \frac{d}{d x} [x]}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Bước 7.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) + \frac{3 \sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)} \cdot 1}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Bước 7.6

Nhân $\frac{3 \sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)}$ với $1$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) + \frac{3 \sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)}}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Bước 8

Nhân $\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) + \frac{3 \sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)}}{\log^{2} (\cos (3 x))}$ với $\frac{\cos (3 x) \ln (10)}{\cos (3 x) \ln (10)}$ .

$\frac{\cos (3 x) \ln (10)}{\cos (3 x) \ln (10)} \cdot \frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) + \frac{3 \sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)}}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Bước 9

Kết hợp.

$\frac{\cos (3 x) \ln (10) (\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) + \frac{3 \sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)})}{\cos (3 x) \ln (10) \log^{2} (\cos (3 x))}$

Bước 10

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\cos (3 x) \ln (10) (\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x)) + \cos (3 x) \ln (10) \frac{3 \sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)}}{\cos (3 x) \ln (10) \log^{2} (\cos (3 x))}$

Bước 11

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (3 x) \ln (10)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\cos (3 x) \ln (10) (\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x)) + \cos (3 x) \ln (10) \frac{3 \sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)}}{\cos (3 x) \ln (10) \log^{2} (\cos (3 x))}$

Bước 11.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\cos (3 x) \ln (10) (\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x)) + 3 \sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10) \log^{2} (\cos (3 x))}$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1.1

Rút gọn $6 \ln (10)$ bằng cách di chuyển $6$ trong logarit.

$\frac{\cos (3 x) \ln (10^{6}) \log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) x + 3 \sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10) \log^{2} (\cos (3 x))}$

Bước 12.1.1.2

Nâng $10$ lên lũy thừa $6$ .

$\frac{\cos (3 x) \ln (1000000) \log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) x + 3 \sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10) \log^{2} (\cos (3 x))}$

Bước 12.1.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $\cos (3 x) \ln (1000000) \log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) x + 3 \sin (3 x) \sin (3 x^{2})$ .

$\frac{x \cos (3 x) \ln (1000000) \log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) + 3 \sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10) \log^{2} (\cos (3 x))}$

Bước 12.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{x \cos (3 x) \cos (3 x^{2}) \ln (1000000) \log (\cos (3 x)) + 3 \sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\log^{2} (\cos (3 x)) \cos (3 x) \ln (10)}$