Giải tích Ví dụ

$\int_{2}^{6} x \sqrt{x - 2} d x$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = \sqrt{x - 2}$ .

$x (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{3}{2}})]_{2}^{6} - \int_{2}^{6} \frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{3}{2}} d x$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và ${(x - 2)}^{\frac{3}{2}}$ .

$x \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}}}{3}]_{2}^{6} - \int_{2}^{6} \frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{3}{2}} d x$

Bước 2.2

Kết hợp $x$ và $\frac{2 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{x (2 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{2}^{6} - \int_{2}^{6} \frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{3}{2}} d x$

Bước 3

Vì $\frac{2}{3}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{2}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{x (2 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{2}^{6} - (\frac{2}{3} \int_{2}^{6} {(x - 2)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Bước 4

Giả sử $u = x - 2$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u = x - 2$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Bước 4.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 4.1.4

Vì $- 2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 4.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 4.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = x - 2$ .

$u_{lower} = 2 - 2$

Bước 4.3

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 4.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = x - 2$ .

$u_{upper} = 6 - 2$

Bước 4.5

Trừ $2$ khỏi $6$ .

$u_{upper} = 4$

Bước 4.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 4$

Bước 4.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\frac{x (2 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{2}^{6} - \frac{2}{3} \int_{0}^{4} u^{\frac{3}{2}} d u$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{3}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{x (2 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{2}^{6} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{4}$

Bước 6

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính $\frac{x (2 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3}$ tại $6$ và tại $2$ .

$(\frac{6 (2 {(6 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{4}$

Bước 6.2

Tính $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ tại $4$ và tại $0$ .

$(\frac{6 (2 {(6 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Trừ $2$ khỏi $6$ .

$\frac{6 (2 \cdot 4^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{6 (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.3

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6 (2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{6 (2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{6 (2 \cdot 2^{3})}{3} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.5

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{6 (2 \cdot 8)}{3} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.6

Nhân $2$ với $8$ .

$\frac{6 \cdot 16}{3} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.7

Nhân $6$ với $16$ .

$\frac{96}{3} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.8

Triệt tiêu thừa số chung của $96$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.8.1

Đưa $3$ ra ngoài $96$ .

$\frac{3 \cdot 32}{3} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.8.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.8.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{3 \cdot 32}{3 (1)} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.8.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \cdot 32}{3 \cdot 1} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.8.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{32}{1} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.8.2.4

Chia $32$ cho $1$ .

$32 - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.9

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$32 - \frac{2 (2 \cdot 0^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.10

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$32 - \frac{2 (2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.11

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$32 - \frac{2 (2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.12

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.12.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$32 - \frac{2 (2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.12.2

Viết lại biểu thức.

$32 - \frac{2 (2 \cdot 0^{3})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.13

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$32 - \frac{2 (2 \cdot 0)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.14

Nhân $2$ với $0$ .

$32 - \frac{2 \cdot 0}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.15

Nhân $2$ với $0$ .

$32 - \frac{0}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.16

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.16.1

Đưa $3$ ra ngoài $0$ .

$32 - \frac{3 (0)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.16.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.16.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$32 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.16.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$32 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.16.2.3

Viết lại biểu thức.

$32 - \frac{0}{1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.16.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$32 - 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.17

Nhân $- 1$ với $0$ .

$32 + 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.18

Cộng $32$ và $0$ .

$32 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.19

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$32 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.20

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$32 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.21

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.21.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$32 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.21.2

Viết lại biểu thức.

$32 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 2^{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.22

Nâng $2$ lên lũy thừa $5$ .

$32 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 32 - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.23

Kết hợp $\frac{2}{5}$ và $32$ .

$32 - \frac{2}{3} (\frac{2 \cdot 32}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.24

Nhân $2$ với $32$ .

$32 - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.25

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$32 - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.26

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$32 - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})})$

Bước 6.3.27

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.27.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$32 - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})})$

Bước 6.3.27.2

Viết lại biểu thức.

$32 - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{5})$

Bước 6.3.28

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$32 - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0)$

Bước 6.3.29

Nhân $0$ với $- 1$ .

$32 - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} + 0 (\frac{2}{5}))$

Bước 6.3.30

Nhân $0$ với $\frac{2}{5}$ .

$32 - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} + 0)$

Bước 6.3.31

Cộng $\frac{64}{5}$ và $0$ .

$32 - \frac{2}{3} \cdot \frac{64}{5}$

Bước 6.3.32

Nhân $\frac{64}{5}$ với $\frac{2}{3}$ .

$32 - \frac{64 \cdot 2}{5 \cdot 3}$

Bước 6.3.33

Nhân $64$ với $2$ .

$32 - \frac{128}{5 \cdot 3}$

Bước 6.3.34

Nhân $5$ với $3$ .

$32 - \frac{128}{15}$

Bước 6.3.35

Để viết $32$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{15}{15}$ .

$32 \cdot \frac{15}{15} - \frac{128}{15}$

Bước 6.3.36

Kết hợp $32$ và $\frac{15}{15}$ .

$\frac{32 \cdot 15}{15} - \frac{128}{15}$

Bước 6.3.37

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{32 \cdot 15 - 128}{15}$

Bước 6.3.38

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.38.1

Nhân $32$ với $15$ .

$\frac{480 - 128}{15}$

Bước 6.3.38.2

Trừ $128$ khỏi $480$ .

$\frac{352}{15}$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{352}{15}$

Dạng thập phân:

$23.4\overline{6}$

Dạng hỗn số:

$23 \frac{7}{15}$

Bước 8