Giải tích Ví dụ

$y = 5 x^{3} - 3 x$ , $(1, 2)$

Bước 1

Viết $y = 5 x^{3} - 3 x$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = 5 x^{3} - 3 x$

Bước 2

Kiểm tra xem điểm đã cho có nằm trên đồ thị của hàm số đã cho không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính $f (x) = 5 x^{3} - 3 x$ tại $x = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f (1) = 5 {(1)}^{3} - 3 \cdot 1$

Bước 2.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f (1) = 5 \cdot 1 - 3 \cdot 1$

Bước 2.1.2.1.2

Nhân $5$ với $1$ .

$f (1) = 5 - 3 \cdot 1$

Bước 2.1.2.1.3

Nhân $- 3$ với $1$ .

$f (1) = 5 - 3$

Bước 2.1.2.2

Trừ $3$ khỏi $5$ .

$f (1) = 2$

Bước 2.1.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $2$ .

$2$

Bước 2.2

Vì $2 = 2$ , nên điểm nằm trên đồ thị.

Điểm nằm trên đồ thị

Bước 3

Hệ số góc của đường tiếp tuyến là đạo hàm của biểu thức.

$m$ $=$ Đạo hàm của $f (x) = 5 x^{3} - 3 x$

Bước 4

Xét định nghĩa giới hạn của đạo hàm.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Bước 5

Tìm của thành phần của định nghĩa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tính hàm số tại $x = x + h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $x + h$ trong biểu thức.

$f (x + h) = 5 {(x + h)}^{3} - 3 (x + h)$

Bước 5.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1.1

Sử dụng định lý nhị thức.

$f (x + h) = 5 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}) - 3 (x + h)$

Bước 5.1.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x + h) = 5 x^{3} + 5 (3 x^{2} h) + 5 (3 x h^{2}) + 5 h^{3} - 3 (x + h)$

Bước 5.1.2.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1.3.1

Nhân $3$ với $5$ .

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 (x^{2} h) + 5 (3 x h^{2}) + 5 h^{3} - 3 (x + h)$

Bước 5.1.2.1.3.2

Nhân $3$ với $5$ .

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 (x^{2} h) + 15 (x h^{2}) + 5 h^{3} - 3 (x + h)$

Bước 5.1.2.1.4

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 (x + h)$

Bước 5.1.2.1.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x - 3 h$

Bước 5.1.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x - 3 h$ .

$5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x - 3 h$

Bước 5.2

Sắp xếp lại.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x - 3 h$

Bước 5.2.2

Di chuyển $x$ .

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} - 3 x - 3 h$

Bước 5.2.3

Di chuyển $- 3 x$ .

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} - 3 h - 3 x$

Bước 5.2.4

Di chuyển $5 x^{3}$ .

$15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x$

Bước 5.2.5

Di chuyển $15 h x^{2}$ .

$15 h^{2} x + 5 h^{3} + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x$

Bước 5.2.6

Sắp xếp lại $15 h^{2} x$ và $5 h^{3}$ .

$5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x$

Bước 5.3

Tìm của thành phần của định nghĩa.

$f (x + h) = 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x$

$f (x) = 5 x^{3} - 3 x$

$f (x + h) = 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x$

$f (x) = 5 x^{3} - 3 x$

Bước 6

Điền vào các thành phần.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x - (5 x^{3} - 3 x)}{h}$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x - (5 x^{3}) - (- 3 x)}{h}$

Bước 7.1.2

Nhân $5$ với $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x - 5 x^{3} - (- 3 x)}{h}$

Bước 7.1.3

Nhân $- 3$ với $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x - 5 x^{3} + 3 x}{h}$

Bước 7.1.4

Trừ $5 x^{3}$ khỏi $5 x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 3 h - 3 x + 0 + 3 x}{h}$

Bước 7.1.5

Cộng $5 h^{3}$ và $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 3 h - 3 x + 3 x}{h}$

Bước 7.1.6

Cộng $- 3 x$ và $3 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 3 h + 0}{h}$

Bước 7.1.7

Cộng $5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 3 h$ và $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 3 h}{h}$

Bước 7.1.8

Đưa $h$ ra ngoài $5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 3 h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.8.1

Đưa $h$ ra ngoài $5 h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 3 h}{h}$

Bước 7.1.8.2

Đưa $h$ ra ngoài $15 h^{2} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + h (15 h x) + 15 h x^{2} - 3 h}{h}$

Bước 7.1.8.3

Đưa $h$ ra ngoài $15 h x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2}) - 3 h}{h}$

Bước 7.1.8.4

Đưa $h$ ra ngoài $- 3 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2}) + h \cdot - 3}{h}$

Bước 7.1.8.5

Đưa $h$ ra ngoài $h (5 h^{2}) + h (15 h x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x) + h (15 x^{2}) + h \cdot - 3}{h}$

Bước 7.1.8.6

Đưa $h$ ra ngoài $h (5 h^{2} + 15 h x) + h (15 x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2}) + h \cdot - 3}{h}$

Bước 7.1.8.7

Đưa $h$ ra ngoài $h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2}) + h \cdot - 3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} - 3)}{h}$

Bước 7.2

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} - 3)}{h}$

Bước 7.2.1.2

Chia $5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} - 3$ cho $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} - 3$

Bước 7.2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Di chuyển $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 5 h^{2} + 15 x h + 15 x^{2} - 3$

Bước 7.2.2.2

Di chuyển $5 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 15 x h + 15 x^{2} + 5 h^{2} - 3$

Bước 7.2.2.3

Sắp xếp lại $15 x h$ và $15 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 15 x^{2} + 15 x h + 5 h^{2} - 3$

Bước 8

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$lim_{h \to 0} 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2} - lim_{h \to 0} 3$

Bước 9

Tính giới hạn của $15 x^{2}$ mà không đổi khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2} - lim_{h \to 0} 3$

Bước 10

Chuyển số hạng $15 x$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $h$ .

$15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 5 h^{2} - lim_{h \to 0} 3$

Bước 11

Chuyển số hạng $5$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $h$ .

$15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 lim_{h \to 0} h^{2} - lim_{h \to 0} 3$

Bước 12

Đưa số mũ $2$ từ $h^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 3$

Bước 13

Tính giới hạn của $3$ mà không đổi khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 3$

Bước 14

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $0$ cho tất cả các lần xảy ra của $h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Tính giới hạn của $h$ bằng cách điền vào $0$ cho $h$ .

$15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 3$

Bước 14.2

Tính giới hạn của $h$ bằng cách điền vào $0$ cho $h$ .

$15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 3$

Bước 15

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.1

Nhân $15 x \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.1.1

Nhân $0$ với $15$ .

$15 x^{2} + 0 x + 5 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 3$

Bước 15.1.1.2

Nhân $0$ với $x$ .

$15 x^{2} + 0 + 5 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 3$

Bước 15.1.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$15 x^{2} + 0 + 5 \cdot 0 - 1 \cdot 3$

Bước 15.1.3

Nhân $5$ với $0$ .

$15 x^{2} + 0 + 0 - 1 \cdot 3$

Bước 15.1.4

Nhân $- 1$ với $3$ .

$15 x^{2} + 0 + 0 - 3$

Bước 15.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $15 x^{2} + 0 + 0 - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1

Cộng $15 x^{2}$ và $0$ .

$15 x^{2} + 0 - 3$

Bước 15.2.2

Cộng $15 x^{2}$ và $0$ .

$15 x^{2} - 3$

Bước 16

Tìm hệ số góc $m$ . Trong trường hợp này $m = 12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$m = 15 \cdot 1^{2} - 3$

Bước 16.2

Rút gọn $15 \cdot 1^{2} - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$m = 15 \cdot 1 - 3$

Bước 16.2.1.2

Nhân $15$ với $1$ .

$m = 15 - 3$

Bước 16.2.2

Trừ $3$ khỏi $15$ .

$m = 12$

Bước 17

Hệ số góc là $m = 12$ và điểm là $(1, 2)$ .

$m = 12, (1, 2)$

Bước 18

Tìm $b$ bằng cách sử dụng công thức của phương trình đường thẳng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Sử dụng công thức cho phương trình đường thẳng để tìm $b$ .

$y = m x + b$

Bước 18.2

Thay giá trị của $m$ vào phương trình.

$y = (12) \cdot x + b$

Bước 18.3

Thay giá trị của $x$ vào phương trình.

$y = (12) \cdot (1) + b$

Bước 18.4

Thay giá trị của $y$ vào phương trình.

$2 = (12) \cdot (1) + b$

Bước 18.5

Tìm $b$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.5.1

Viết lại phương trình ở dạng $(12) \cdot (1) + b = 2$ .

$(12) \cdot (1) + b = 2$

Bước 18.5.2

Nhân $12$ với $1$ .

$12 + b = 2$

Bước 18.5.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $b$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.5.3.1

Trừ $12$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$b = 2 - 12$

Bước 18.5.3.2

Trừ $12$ khỏi $2$ .

$b = - 10$

Bước 19

Bây giờ, các giá trị của $m$ (hệ số góc) và $b$ (tung độ gốc) đã được biết, thay chúng vào $y = m x + b$ để tìm phương trình đường thẳng.

$y = 12 x - 10$

Bước 20