Giải tích Ví dụ

$f (x) = 2 x^{3}$

Bước 1

Xét định nghĩa giới hạn của đạo hàm.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Bước 2

Tìm của thành phần của định nghĩa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính hàm số tại $x = x + h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $x + h$ trong biểu thức.

$f (x + h) = 2 {(x + h)}^{3}$

Bước 2.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Sử dụng định lý nhị thức.

$f (x + h) = 2 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3})$

Bước 2.1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x + h) = 2 x^{3} + 2 (3 x^{2} h) + 2 (3 x h^{2}) + 2 h^{3}$

Bước 2.1.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.3.1

Nhân $3$ với $2$ .

$f (x + h) = 2 x^{3} + 6 (x^{2} h) + 2 (3 x h^{2}) + 2 h^{3}$

Bước 2.1.2.3.2

Nhân $3$ với $2$ .

$f (x + h) = 2 x^{3} + 6 (x^{2} h) + 6 (x h^{2}) + 2 h^{3}$

Bước 2.1.2.4

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$f (x + h) = 2 x^{3} + 6 x^{2} h + 6 x h^{2} + 2 h^{3}$

Bước 2.1.2.5

Câu trả lời cuối cùng là $2 x^{3} + 6 x^{2} h + 6 x h^{2} + 2 h^{3}$ .

$2 x^{3} + 6 x^{2} h + 6 x h^{2} + 2 h^{3}$

Bước 2.2

Sắp xếp lại.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$2 x^{3} + 6 h x^{2} + 6 x h^{2} + 2 h^{3}$

Bước 2.2.2

Di chuyển $x$ .

$2 x^{3} + 6 h x^{2} + 6 h^{2} x + 2 h^{3}$

Bước 2.2.3

Di chuyển $2 x^{3}$ .

$6 h x^{2} + 6 h^{2} x + 2 h^{3} + 2 x^{3}$

Bước 2.2.4

Di chuyển $6 h x^{2}$ .

$6 h^{2} x + 2 h^{3} + 6 h x^{2} + 2 x^{3}$

Bước 2.2.5

Sắp xếp lại $6 h^{2} x$ và $2 h^{3}$ .

$2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3}$

Bước 2.3

Tìm của thành phần của định nghĩa.

$f (x + h) = 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3}$

$f (x) = 2 x^{3}$

$f (x + h) = 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3}$

$f (x) = 2 x^{3}$

Bước 3

Điền vào các thành phần.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - (2 x^{3})}{h}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - 2 x^{3}}{h}$

Bước 4.1.2

Trừ $2 x^{3}$ khỏi $2 x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 0}{h}$

Bước 4.1.3

Cộng $2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2}$ và $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2}}{h}$

Bước 4.1.4

Đưa $2 h$ ra ngoài $2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.4.1

Đưa $2 h$ ra ngoài $2 h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h \cdot h^{2} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2}}{h}$

Bước 4.1.4.2

Đưa $2 h$ ra ngoài $6 h^{2} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h \cdot h^{2} + 2 h (3 h x) + 6 h x^{2}}{h}$

Bước 4.1.4.3

Đưa $2 h$ ra ngoài $6 h x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h \cdot h^{2} + 2 h (3 h x) + 2 h (3 x^{2})}{h}$

Bước 4.1.4.4

Đưa $2 h$ ra ngoài $2 h \cdot h^{2} + 2 h (3 h x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h (h^{2} + 3 h x) + 2 h (3 x^{2})}{h}$

Bước 4.1.4.5

Đưa $2 h$ ra ngoài $2 h (h^{2} + 3 h x) + 2 h (3 x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

Bước 4.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

Bước 4.2.1.2

Chia $2 (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})$ cho $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})$

Bước 4.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 h^{2} + 2 (3 h x) + 2 (3 x^{2})$

Bước 4.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Nhân $3$ với $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 h^{2} + 6 (h x) + 2 (3 x^{2})$

Bước 4.3.2

Nhân $3$ với $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 h^{2} + 6 (h x) + 6 x^{2}$

Bước 4.4

Di chuyển $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 h^{2} + 6 x h + 6 x^{2}$

Bước 4.5

Di chuyển $2 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 6 x h + 6 x^{2} + 2 h^{2}$

Bước 4.6

Sắp xếp lại $6 x h$ và $6 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 6 x^{2} + 6 x h + 2 h^{2}$

Bước 5

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$lim_{h \to 0} 6 x^{2} + lim_{h \to 0} 6 x h + lim_{h \to 0} 2 h^{2}$

Bước 6

Tính giới hạn của $6 x^{2}$ mà không đổi khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$6 x^{2} + lim_{h \to 0} 6 x h + lim_{h \to 0} 2 h^{2}$

Bước 7

Chuyển số hạng $6 x$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $h$ .

$6 x^{2} + 6 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 2 h^{2}$

Bước 8

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $h$ .

$6 x^{2} + 6 x lim_{h \to 0} h + 2 lim_{h \to 0} h^{2}$

Bước 9

Đưa số mũ $2$ từ $h^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$6 x^{2} + 6 x lim_{h \to 0} h + 2 {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Bước 10

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $0$ cho tất cả các lần xảy ra của $h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Tính giới hạn của $h$ bằng cách điền vào $0$ cho $h$ .

$6 x^{2} + 6 x \cdot 0 + 2 {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Bước 10.2

Tính giới hạn của $h$ bằng cách điền vào $0$ cho $h$ .

$6 x^{2} + 6 x \cdot 0 + 2 \cdot 0^{2}$

Bước 11

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Nhân $6 x \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1.1

Nhân $0$ với $6$ .

$6 x^{2} + 0 x + 2 \cdot 0^{2}$

Bước 11.1.1.2

Nhân $0$ với $x$ .

$6 x^{2} + 0 + 2 \cdot 0^{2}$

Bước 11.1.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$6 x^{2} + 0 + 2 \cdot 0$

Bước 11.1.3

Nhân $2$ với $0$ .

$6 x^{2} + 0 + 0$

Bước 11.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $6 x^{2} + 0 + 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Cộng $6 x^{2}$ và $0$ .

$6 x^{2} + 0$

Bước 11.2.2

Cộng $6 x^{2}$ và $0$ .

$6 x^{2}$

Bước 12