Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{2} (2 - t) \sqrt{t} d t$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{t}$ ở dạng $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{2} (2 - t) t^{\frac{1}{2}} d t$

Bước 2

Khai triển $(2 - t) t^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int_{0}^{2} 2 t^{\frac{1}{2}} - t \cdot t^{\frac{1}{2}} d t$

Bước 2.2

Đưa dấu âm ra ngoài.

$\int_{0}^{2} 2 t^{\frac{1}{2}} - (t \cdot t^{\frac{1}{2}}) d t$

Bước 2.3

Nâng $t$ lên lũy thừa $1$ .

$\int_{0}^{2} 2 t^{\frac{1}{2}} - (t^{1} t^{\frac{1}{2}}) d t$

Bước 2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int_{0}^{2} 2 t^{\frac{1}{2}} - t^{1 + \frac{1}{2}} d t$

Bước 2.5

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\int_{0}^{2} 2 t^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} d t$

Bước 2.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int_{0}^{2} 2 t^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{2 + 1}{2}} d t$

Bước 2.7

Cộng $2$ và $1$ .

$\int_{0}^{2} 2 t^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{3}{2}} d t$

Bước 3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{0}^{2} 2 t^{\frac{1}{2}} d t + \int_{0}^{2} - t^{\frac{3}{2}} d t$

Bước 4

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int_{0}^{2} t^{\frac{1}{2}} d t + \int_{0}^{2} - t^{\frac{3}{2}} d t$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $t^{\frac{1}{2}}$ đối với $t$ là $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - t^{\frac{3}{2}} d t$

Bước 6

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $t^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - t^{\frac{3}{2}} d t$

Bước 7

Vì $- 1$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$2 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{2}) - \int_{0}^{2} t^{\frac{3}{2}} d t$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $t^{\frac{3}{2}}$ đối với $t$ là $\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{2}) - (\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}]_{0}^{2})$

Bước 9

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Kết hợp $\frac{2}{5}$ và $t^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{2}) - (\frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}]_{0}^{2})$

Bước 9.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Tính $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ tại $2$ và tại $0$ .

$2 ((\frac{2 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}]_{0}^{2})$

Bước 9.2.2

Tính $\frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}$ tại $2$ và tại $0$ .

$2 (\frac{2 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Bước 9.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.1

Nhân $2$ với $2^{\frac{3}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.1.1

Nhân $2$ với $2^{\frac{3}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.1.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (\frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Bước 9.2.3.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 (\frac{2^{1 + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Bước 9.2.3.1.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$2 (\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Bước 9.2.3.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 (\frac{2^{\frac{2 + 3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Bước 9.2.3.1.4

Cộng $2$ và $3$ .

$2 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Bước 9.2.3.2

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$2 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Bước 9.2.3.3

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Bước 9.2.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Bước 9.2.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$2 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Bước 9.2.3.5

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$2 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0}{3}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Bước 9.2.3.6

Nhân $2$ với $0$ .

$2 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{0}{3}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Bước 9.2.3.7

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.7.1

Đưa $3$ ra ngoài $0$ .

$2 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Bước 9.2.3.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.7.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$2 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Bước 9.2.3.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Bước 9.2.3.7.2.3

Viết lại biểu thức.

$2 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{0}{1}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Bước 9.2.3.7.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$2 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - 0) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Bước 9.2.3.8

Nhân $- 1$ với $0$ .

$2 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} + 0) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Bước 9.2.3.9

Cộng $\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3}$ và $0$ .

$2 \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Bước 9.2.3.10

Kết hợp $2$ và $\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{3} - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Bước 9.2.3.11

Nhân $2$ với $2^{\frac{5}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.11.1

Nhân $2$ với $2^{\frac{5}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.11.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{3} - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Bước 9.2.3.11.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2^{1 + \frac{5}{2}}}{3} - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Bước 9.2.3.11.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{5}{2}}}{3} - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Bước 9.2.3.11.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2^{\frac{2 + 5}{2}}}{3} - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Bước 9.2.3.11.4

Cộng $2$ và $5$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Bước 9.2.3.12

Nhân $2$ với $2^{\frac{5}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.12.1

Nhân $2$ với $2^{\frac{5}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.12.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Bước 9.2.3.12.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{1 + \frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Bước 9.2.3.12.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Bước 9.2.3.12.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{2 + 5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Bước 9.2.3.12.4

Cộng $2$ và $5$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Bước 9.2.3.13

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5})$

Bước 9.2.3.14

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5})$

Bước 9.2.3.15

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.15.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5})$

Bước 9.2.3.15.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{5}}{5})$

Bước 9.2.3.16

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0}{5})$

Bước 9.2.3.17

Nhân $2$ với $0$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} - \frac{0}{5})$

Bước 9.2.3.18

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.18.1

Đưa $5$ ra ngoài $0$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} - \frac{5 (0)}{5})$

Bước 9.2.3.18.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.18.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $5$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

Bước 9.2.3.18.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

Bước 9.2.3.18.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} - \frac{0}{1})$

Bước 9.2.3.18.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} - 0)$

Bước 9.2.3.19

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} + 0)$

Bước 9.2.3.20

Cộng $\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5}$ và $0$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{7}{2}}}{5}$

Bước 9.2.3.21

Để viết $\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{2^{\frac{7}{2}}}{5}$

Bước 9.2.3.22

Để viết $- \frac{2^{\frac{7}{2}}}{5}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}$

Bước 9.2.3.23

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $15$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.23.1

Nhân $\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3}$ với $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}} \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}$

Bước 9.2.3.23.2

Nhân $3$ với $5$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}} \cdot 5}{15} - \frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}$

Bước 9.2.3.23.3

Nhân $\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5}$ với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}} \cdot 5}{15} - \frac{2^{\frac{7}{2}} \cdot 3}{5 \cdot 3}$

Bước 9.2.3.23.4

Nhân $5$ với $3$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}} \cdot 5}{15} - \frac{2^{\frac{7}{2}} \cdot 3}{15}$

Bước 9.2.3.24

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2^{\frac{7}{2}} \cdot 5 - 2^{\frac{7}{2}} \cdot 3}{15}$

Bước 9.2.3.25

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $2^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{5 \cdot 2^{\frac{7}{2}} - 2^{\frac{7}{2}} \cdot 3}{15}$

Bước 9.2.3.26

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{5 \cdot 2^{\frac{7}{2}} - 3 \cdot 2^{\frac{7}{2}}}{15}$

Bước 9.2.3.27

Trừ $3 \cdot 2^{\frac{7}{2}}$ khỏi $5 \cdot 2^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{7}{2}}}{15}$

Bước 9.2.3.28

Nhân $2$ với $2^{\frac{7}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.28.1

Nhân $2$ với $2^{\frac{7}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.28.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{7}{2}}}{15}$

Bước 9.2.3.28.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2^{1 + \frac{7}{2}}}{15}$

Bước 9.2.3.28.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{7}{2}}}{15}$

Bước 9.2.3.28.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2^{\frac{2 + 7}{2}}}{15}$

Bước 9.2.3.28.4

Cộng $2$ và $7$ .

$\frac{2^{\frac{9}{2}}}{15}$

Bước 10

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{2^{\frac{9}{2}}}{15}$

Dạng thập phân:

$1.50849446 \dots$

Bước 11