Giải tích Ví dụ

$\int e^{- 2 x} \sin (2 x) d x$

Bước 1

Sắp xếp lại $e^{- 2 x}$ và $\sin (2 x)$ .

$\int \sin (2 x) e^{- 2 x} d x$

Bước 2

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \sin (2 x)$ và $d v = e^{- 2 x}$ .

$\sin (2 x) (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} (2 \cos (2 x)) d x$

Bước 3

Vì $- \frac{1}{2} \cdot 2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- \frac{1}{2} \cdot 2$ ra khỏi tích phân.

$\sin (2 x) (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - (- \frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{- 2 x} (\cos (2 x)) d x)$

Bước 4

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp $e^{- 2 x}$ và $\frac{1}{2}$ .

$\sin (2 x) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - (- \frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{- 2 x} (\cos (2 x)) d x)$

Bước 4.2

Kết hợp $\sin (2 x)$ và $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (- \frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{- 2 x} (\cos (2 x)) d x)$

Bước 4.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (- 2 (\frac{1}{2}) \int e^{- 2 x} (\cos (2 x)) d x)$

Bước 4.4

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 2}{2} \int e^{- 2 x} (\cos (2 x)) d x)$

Bước 4.5

Sắp xếp lại $e^{- 2 x}$ và $\cos (2 x)$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 2}{2} \int \cos (2 x) e^{- 2 x} d x)$

Bước 5

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \cos (2 x)$ và $d v = e^{- 2 x}$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 2}{2} (\cos (2 x) (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} (- 2 \sin (2 x)) d x))$

Bước 6

Vì $- \frac{1}{2} \cdot - 2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- \frac{1}{2} \cdot - 2$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 2}{2} (\cos (2 x) (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - (- \frac{1}{2} \cdot - 2 \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x)))$

Bước 7

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp $e^{- 2 x}$ và $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 2}{2} (\cos (2 x) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - (- \frac{1}{2} \cdot - 2 \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x)))$

Bước 7.2

Kết hợp $\cos (2 x)$ và $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 2}{2} (- \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (- \frac{1}{2} \cdot - 2 \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x)))$

Bước 7.3

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 2}{2} (- \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (2 (\frac{1}{2}) \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x)))$

Bước 7.4

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 2}{2} (- \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (\frac{2}{2} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x)))$

Bước 7.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - \frac{- 2}{2} (- \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2}) - \frac{- 2}{2} (- (\frac{2}{2} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x))$

Bước 7.6

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + 1 (\frac{- 2}{2}) \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2} - \frac{- 2}{2} (- (\frac{2}{2} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x))$

Bước 7.6.2

Nhân $\frac{- 2}{2}$ với $1$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2}{2} \cdot \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2} - \frac{- 2}{2} (- (\frac{2}{2} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x))$

Bước 7.7

Nhân $\frac{- 2}{2}$ với $\frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2}$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 (\cos (2 x) e^{- 2 x})}{2 \cdot 2} - \frac{- 2}{2} (- (\frac{2}{2} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x))$

Bước 7.8

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.8.1

Nhân $2$ với $2$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 (\cos (2 x) e^{- 2 x})}{4} - \frac{- 2}{2} (- (\frac{2}{2} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x))$

Bước 7.8.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 (\cos (2 x) e^{- 2 x})}{4} + 1 (\frac{- 2}{2}) (\frac{2}{2} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x)$

Bước 7.8.3

Nhân $\frac{- 2}{2}$ với $1$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 (\cos (2 x) e^{- 2 x})}{4} + \frac{- 2}{2} (\frac{2}{2} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x)$

Bước 7.9

Nhân $\frac{2}{2}$ với $\frac{- 2}{2}$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 (\cos (2 x) e^{- 2 x})}{4} + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 2} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x$

Bước 7.10

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.10.1

Nhân $2$ với $- 2$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 (\cos (2 x) e^{- 2 x})}{4} + \frac{- 4}{2 \cdot 2} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x$

Bước 7.10.2

Nhân $2$ với $2$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 (\cos (2 x) e^{- 2 x})}{4} + \frac{- 4}{4} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x$

Bước 8

Khi giải tìm $\int e^{- 2 x} \sin (2 x) d x$ , chúng ta thấy rằng $\int e^{- 2 x} \sin (2 x) d x$ = $\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 (\cos (2 x) e^{- 2 x})}{4}}{\frac{8}{4}}$ .

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 (\cos (2 x) e^{- 2 x})}{4}}{\frac{8}{4}} + C$

Bước 9

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 \cos (2 x) e^{- 2 x}$ .

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{2 (- \cos (2 x) e^{- 2 x})}{4}}{\frac{8}{4}} + C$

Bước 9.1.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{2 (- \cos (2 x) e^{- 2 x})}{2 (2)}}{\frac{8}{4}} + C$

Bước 9.1.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{2 (- \cos (2 x) e^{- 2 x})}{2 \cdot 2}}{\frac{8}{4}} + C$

Bước 9.1.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- \cos (2 x) e^{- 2 x}}{2}}{\frac{8}{4}} + C$

Bước 9.1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2}}{\frac{8}{4}} + C$

Bước 9.1.3

Triệt tiêu thừa số chung của $8$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.3.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2}}{\frac{4 \cdot 2}{4}} + C$

Bước 9.1.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.3.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2}}{\frac{4 \cdot 2}{4 (1)}} + C$

Bước 9.1.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2}}{\frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1}} + C$

Bước 9.1.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2}}{\frac{2}{1}} + C$

Bước 9.1.3.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2}}{2} + C$

Bước 9.2

Viết lại $\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2}}{2} + C$ ở dạng $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \sin (2 x) e^{- 2 x} - \frac{1}{2} \cos (2 x) e^{- 2 x}) + C$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \sin (2 x) e^{- 2 x} - \frac{1}{2} \cos (2 x) e^{- 2 x}) + C$

Bước 9.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Kết hợp $\sin (2 x)$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{2} \cos (2 x) e^{- 2 x}) + C$

Bước 9.3.2

Kết hợp $e^{- 2 x}$ và $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{e^{- 2 x} \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} \cos (2 x) e^{- 2 x}) + C$

Bước 9.3.3

Kết hợp $\cos (2 x)$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{e^{- 2 x} \sin (2 x)}{2} - \frac{\cos (2 x)}{2} e^{- 2 x}) + C$

Bước 9.3.4

Kết hợp $e^{- 2 x}$ và $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{e^{- 2 x} \sin (2 x)}{2} - \frac{e^{- 2 x} \cos (2 x)}{2}) + C$

Bước 9.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{2} (- \frac{e^{- 2 x} \sin (2 x)}{2}) + \frac{1}{2} (- \frac{e^{- 2 x} \cos (2 x)}{2}) + C$

Bước 9.4.2

Nhân $\frac{1}{2} (- \frac{e^{- 2 x} \sin (2 x)}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.2.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{e^{- 2 x} \sin (2 x)}{2}$ .

$- \frac{e^{- 2 x} \sin (2 x)}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} (- \frac{e^{- 2 x} \cos (2 x)}{2}) + C$

Bước 9.4.2.2

Nhân $2$ với $2$ .

$- \frac{e^{- 2 x} \sin (2 x)}{4} + \frac{1}{2} (- \frac{e^{- 2 x} \cos (2 x)}{2}) + C$

Bước 9.4.3

Nhân $\frac{1}{2} (- \frac{e^{- 2 x} \cos (2 x)}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.3.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{e^{- 2 x} \cos (2 x)}{2}$ .

$- \frac{e^{- 2 x} \sin (2 x)}{4} - \frac{e^{- 2 x} \cos (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Bước 9.4.3.2

Nhân $2$ với $2$ .

$- \frac{e^{- 2 x} \sin (2 x)}{4} - \frac{e^{- 2 x} \cos (2 x)}{4} + C$

Bước 9.5

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$- \frac{1}{4} e^{- 2 x} \sin (2 x) - \frac{1}{4} e^{- 2 x} \cos (2 x) + C$