Giải tích Ví dụ

$\int r^{2} e^{- \frac{2 r}{a}} d r$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = r^{2}$ và $d v = e^{- \frac{2 r}{a}}$ .

$r^{2} (- \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a) - \int - \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a (2 r) d r$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp $e^{- \frac{2 r}{a}}$ và $\frac{1}{2}$ .

$r^{2} (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}}}{2} a) - \int - \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a (2 r) d r$

Bước 2.2

Kết hợp $a$ và $\frac{e^{- \frac{2 r}{a}}}{2}$ .

$r^{2} (- \frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a (2 r) d r$

Bước 2.3

Kết hợp $r^{2}$ và $\frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2}$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a (2 r) d r$

Bước 3

Vì $- \frac{1}{2} a \cdot 2$ không đổi đối với $r$ , hãy di chuyển $- \frac{1}{2} a \cdot 2$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (- \frac{1}{2} a \cdot 2 \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp $a$ và $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (- \frac{a}{2} \cdot 2 \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

Bước 4.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (- 2 \frac{a}{2} \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

Bước 4.3

Kết hợp $- 2$ và $\frac{a}{2}$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (\frac{- 2 a}{2} \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

Bước 4.4

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 a$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (\frac{2 (- a)}{2} \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

Bước 4.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (\frac{2 (- a)}{2 (1)} \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

Bước 4.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (\frac{2 (- a)}{2 \cdot 1} \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

Bước 4.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (\frac{- a}{1} \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

Bước 4.4.2.4

Chia $- a$ cho $1$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (- a \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

Bước 4.5

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + 1 (a \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

Bước 4.6

Nhân $a$ với $1$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r$

Bước 5

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = r$ và $d v = e^{- \frac{2 r}{a}}$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (r (- \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a) - \int - \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a d r)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Kết hợp $e^{- \frac{2 r}{a}}$ và $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (r (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}}}{2} a) - \int - \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a d r)$

Bước 6.2

Kết hợp $a$ và $\frac{e^{- \frac{2 r}{a}}}{2}$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (r (- \frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a d r)$

Bước 6.3

Kết hợp $r$ và $\frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2}$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a d r)$

Bước 6.4

Kết hợp $e^{- \frac{2 r}{a}}$ và $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \int - \frac{e^{- \frac{2 r}{a}}}{2} a d r)$

Bước 6.5

Kết hợp $a$ và $\frac{e^{- \frac{2 r}{a}}}{2}$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \int - \frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2} d r)$

Bước 7

Vì $- 1$ không đổi đối với $r$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - - \int \frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2} d r)$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + 1 \int \frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2} d r)$

Bước 8.2

Nhân $\int \frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2} d r$ với $1$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \int \frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2} d r)$

Bước 9

Vì $\frac{a}{2}$ không đổi đối với $r$ , hãy di chuyển $\frac{a}{2}$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \frac{a}{2} \int e^{- \frac{2 r}{a}} d r)$

Bước 10

Giả sử $u = - \frac{2 r}{a}$ . Sau đó $d u = - \frac{2}{a} d r$ , nên $- \frac{a}{2} d u = d r$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Hãy đặt $u = - \frac{2 r}{a}$ . Tìm $\frac{d u}{d r}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Tính đạo hàm $- \frac{2 r}{a}$ .

$\frac{d}{d r} [- \frac{2 r}{a}]$

Bước 10.1.2

Vì $- \frac{2}{a}$ không đổi đối với $r$ , nên đạo hàm của $- \frac{2 r}{a}$ đối với $r$ là $- \frac{2}{a} \frac{d}{d r} [r]$ .

$- \frac{2}{a} \frac{d}{d r} [r]$

Bước 10.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ là $n r^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \frac{2}{a} \cdot 1$

Bước 10.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \frac{2}{a}$

Bước 10.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \frac{a}{2} \int - e^{u} \frac{- 1}{- \frac{2}{a}} d u)$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \frac{a}{2} \int - e^{u} \frac{1}{\frac{2}{a}} d u)$

Bước 11.2

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{2}{a}$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \frac{a}{2} \int - e^{u} (1 \frac{a}{2}) d u)$

Bước 11.3

Nhân $\frac{a}{2}$ với $1$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \frac{a}{2} \int - e^{u} \frac{a}{2} d u)$

Bước 11.4

Kết hợp $\frac{a}{2}$ và $e^{u}$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \frac{a}{2} \int - \frac{a e^{u}}{2} d u)$

Bước 12

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \frac{a}{2} (- \int \frac{a e^{u}}{2} d u))$

Bước 13

Vì $\frac{a}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{a}{2}$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \frac{a}{2} (- (\frac{a}{2} \int e^{u} d u)))$

Bước 14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Nhân $\frac{a}{2}$ với $\frac{a}{2}$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \frac{a \cdot a}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Bước 14.2

Nâng $a$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \frac{a^{1} a}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Bước 14.3

Nâng $a$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \frac{a^{1} a^{1}}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Bước 14.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \frac{a^{1 + 1}}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Bước 14.5

Cộng $1$ và $1$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \frac{a^{2}}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Bước 14.6

Nhân $2$ với $2$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \frac{a^{2}}{4} \int e^{u} d u)$

Bước 15

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \frac{a^{2}}{4} (e^{u} + C))$

Bước 16

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Viết lại $- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \frac{a^{2}}{4} (e^{u} + C))$ ở dạng $- \frac{1}{2} r^{2} a e^{- \frac{2 r}{a}} + a (- \frac{1}{2} r a e^{- \frac{2 r}{a}} - \frac{1}{4} a^{2} e^{u}) + C$ .

$- \frac{1}{2} r^{2} a e^{- \frac{2 r}{a}} + a (- \frac{1}{2} r a e^{- \frac{2 r}{a}} - \frac{1}{4} a^{2} e^{u}) + C$

Bước 16.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.1

Kết hợp $r^{2}$ và $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{r^{2}}{2} a e^{- \frac{2 r}{a}} + a (- \frac{1}{2} r a e^{- \frac{2 r}{a}} - \frac{1}{4} a^{2} e^{u}) + C$

Bước 16.2.2

Kết hợp $a$ và $\frac{r^{2}}{2}$ .

$- \frac{a r^{2}}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} + a (- \frac{1}{2} r a e^{- \frac{2 r}{a}} - \frac{1}{4} a^{2} e^{u}) + C$

Bước 16.2.3

Kết hợp $e^{- \frac{2 r}{a}}$ và $\frac{a r^{2}}{2}$ .

$- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2})}{2} + a (- \frac{1}{2} r a e^{- \frac{2 r}{a}} - \frac{1}{4} a^{2} e^{u}) + C$

Bước 16.2.4

Kết hợp $r$ và $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2})}{2} + a (- \frac{r}{2} a e^{- \frac{2 r}{a}} - \frac{1}{4} a^{2} e^{u}) + C$

Bước 16.2.5

Kết hợp $a$ và $\frac{r}{2}$ .

$- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2})}{2} + a (- \frac{a r}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} - \frac{1}{4} a^{2} e^{u}) + C$

Bước 16.2.6

Kết hợp $e^{- \frac{2 r}{a}}$ và $\frac{a r}{2}$ .

$- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2})}{2} + a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{1}{4} a^{2} e^{u}) + C$

Bước 16.2.7

Kết hợp $a^{2}$ và $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2})}{2} + a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{a^{2}}{4} e^{u}) + C$

Bước 16.2.8

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{a^{2}}{4}$ .

$- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2})}{2} + a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{u} a^{2}}{4}) + C$

Bước 16.2.9

Để viết $a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{u} a^{2}}{4})$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2})}{2} + a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{u} a^{2}}{4}) \cdot \frac{2}{2} + C$

Bước 16.2.10

Kết hợp $a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{u} a^{2}}{4})$ và $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2})}{2} + \frac{a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{u} a^{2}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

Bước 16.2.11

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2}) + a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{u} a^{2}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

Bước 16.2.12

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{u} a^{2}}{4})$ .

$\frac{- e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2}) + 2 a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{u} a^{2}}{4})}{2} + C$

Bước 17

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- \frac{2 r}{a}$ .

$\frac{- e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2}) + 2 a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} a^{2}}{4})}{2} + C$

Bước 18

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{2} (- e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2}) + 2 a (- \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a r - \frac{1}{4} e^{- \frac{2 r}{a}} a^{2})) + C$