Giải tích Ví dụ

$\int \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x$

Bước 1

Áp dụng quy tắc $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ để viết lại dạng lũy thừa dưới dạng căn thức.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(1 + x^{2})}^{3}}} d x$

Bước 2

Giả sử $x = \tan (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = \sec^{2} (t) d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $\sec^{2} (t)$ dương.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(1 + \tan^{2} (t))}^{3}}} \sec^{2} (t) d t$

Bước 3

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn $\sqrt{{(1 + \tan^{2} (t))}^{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\tan^{2} (t) + 1)}^{3}}} \sec^{2} (t) d t$

Bước 3.1.2

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\sec^{2} (t))}^{3}}} \sec^{2} (t) d t$

Bước 3.1.3

Nhân các số mũ trong ${(\sec^{2} (t))}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{\sec (t)}^{2 \cdot 3}}} \sec^{2} (t) d t$

Bước 3.1.3.2

Nhân $2$ với $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{\sec^{6} (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Bước 3.1.4

Viết lại $\sec^{6} (t)$ ở dạng ${(\sec^{3} (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\sec^{3} (t))}^{2}}} \sec^{2} (t) d t$

Bước 3.1.5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int \frac{1}{\sec^{3} (t)} \sec^{2} (t) d t$

Bước 3.2

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $\sec^{2} (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Đưa $\sec^{2} (t)$ ra ngoài $\sec^{3} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sec^{2} (t) \sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

Bước 3.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{1}{\sec^{2} (t) \sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

Bước 3.2.1.3

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{1}{\sec (t)} d t$

Bước 3.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Viết lại $\sec (t)$ theo sin và cosin.

$\int \frac{1}{\frac{1}{\cos (t)}} d t$

Bước 3.2.2.2

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{\cos (t)}$ .

$\int 1 \cos (t) d t$

Bước 3.2.2.3

Nhân $\cos (t)$ với $1$ .

$\int \cos (t) d t$

Bước 4

Tích phân của $\cos (t)$ đối với $t$ là $\sin (t)$ .

$\sin (t) + C$

Bước 5

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $\arctan (x)$ .

$\sin (\arctan (x)) + C$