Giải tích Ví dụ

$e^{r (θ - t)} S^{- 1}$

Bước 1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d t} [e^{r (θ - t)} \frac{1}{S}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp $e^{r (θ - t)}$ và $\frac{1}{S}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{e^{r (θ - t)}}{S}]$

Bước 2.2

Vì $\frac{1}{S}$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $\frac{e^{r (θ - t)}}{S}$ đối với $t$ là $\frac{1}{S} \frac{d}{d t} [e^{r (θ - t)}]$ .

$\frac{1}{S} \frac{d}{d t} [e^{r (θ - t)}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = e^{t}$ và $g (t) = r (θ - t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $r (θ - t)$ .

$\frac{1}{S} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [r (θ - t)])$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{1}{S} (e^{u} \frac{d}{d t} [r (θ - t)])$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $r (θ - t)$ .

$\frac{1}{S} (e^{r (θ - t)} \frac{d}{d t} [r (θ - t)])$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp $e^{r (θ - t)}$ và $\frac{1}{S}$ .

$\frac{e^{r (θ - t)}}{S} \frac{d}{d t} [r (θ - t)]$

Bước 4.2

Vì $r$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $r (θ - t)$ đối với $t$ là $r \frac{d}{d t} [θ - t]$ .

$\frac{e^{r (θ - t)}}{S} (r \frac{d}{d t} [θ - t])$

Bước 4.3

Kết hợp $r$ và $\frac{e^{r (θ - t)}}{S}$ .

$\frac{r e^{r (θ - t)}}{S} \frac{d}{d t} [θ - t]$

Bước 4.4

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $θ - t$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [θ] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$\frac{r e^{r (θ - t)}}{S} (\frac{d}{d t} [θ] + \frac{d}{d t} [- t])$

Bước 4.5

Vì $θ$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $θ$ đối với $t$ là $0$ .

$\frac{r e^{r (θ - t)}}{S} (0 + \frac{d}{d t} [- t])$

Bước 4.6

Cộng $0$ và $\frac{d}{d t} [- t]$ .

$\frac{r e^{r (θ - t)}}{S} \frac{d}{d t} [- t]$

Bước 4.7

Vì $- 1$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- t$ đối với $t$ là $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{r e^{r (θ - t)}}{S} (- \frac{d}{d t} [t])$

Bước 4.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{r e^{r (θ - t)}}{S} (- 1 \cdot 1)$

Bước 4.9

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.9.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{r e^{r (θ - t)}}{S} \cdot - 1$

Bước 4.9.2

Kết hợp $\frac{r e^{r (θ - t)}}{S}$ và $- 1$ .

$\frac{r e^{r (θ - t)} \cdot - 1}{S}$

Bước 4.9.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.9.3.1

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $r e^{r (θ - t)}$ .

$\frac{- 1 \cdot (r e^{r (θ - t)})}{S}$

Bước 4.9.3.2

Viết lại $- 1 r$ ở dạng $- r$ .

$\frac{- r e^{r (θ - t)}}{S}$

Bước 4.9.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{r e^{r (θ - t)}}{S}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{r e^{r θ + r (- t)}}{S}$

Bước 5.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$- \frac{r e^{r θ - r t}}{S}$