Giải tích Ví dụ

$(0.1 t + 1) \ln (\sqrt{t})$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{t}$ ở dạng $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [(0.1 t + 1) \ln (t^{\frac{1}{2}})]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ là $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ trong đó $f (t) = 0.1 t + 1$ và $g (t) = \ln (t^{\frac{1}{2}})$ .

$(0.1 t + 1) \frac{d}{d t} [\ln (t^{\frac{1}{2}})] + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = \ln (t)$ và $g (t) = t^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $t^{\frac{1}{2}}$ .

$(0.1 t + 1) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]) + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

Bước 3.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$(0.1 t + 1) (\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]) + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $t^{\frac{1}{2}}$ .

$(0.1 t + 1) (\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]) + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$(0.1 t + 1) \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}) + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

Bước 5

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$(0.1 t + 1) \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

Bước 6

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$(0.1 t + 1) \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

Bước 7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$(0.1 t + 1) \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

Bước 8

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$(0.1 t + 1) \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}) + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

Bước 8.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$(0.1 t + 1) \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}) + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

Bước 9

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$(0.1 t + 1) \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}) + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

Bước 10

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$(0.1 t + 1) \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2} + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

Bước 11

Nhân $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ với $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$(0.1 t + 1) \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

Bước 12

Di chuyển $t^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(0.1 t + 1) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}} + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

Bước 13

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Nhân $t^{\frac{1}{2}}$ với $t^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Di chuyển $t^{\frac{1}{2}}$ .

$(0.1 t + 1) \frac{1}{2 (t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})} + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

Bước 13.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$(0.1 t + 1) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}} + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

Bước 13.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$(0.1 t + 1) \frac{1}{2 t^{\frac{1 + 1}{2}}} + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

Bước 13.1.4

Cộng $1$ và $1$ .

$(0.1 t + 1) \frac{1}{2 t^{\frac{2}{2}}} + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

Bước 13.1.5

Chia $2$ cho $2$ .

$(0.1 t + 1) \frac{1}{2 t^{1}} + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

Bước 13.2

Rút gọn $2 t^{1}$ .

$(0.1 t + 1) \frac{1}{2 t} + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

Bước 14

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $0.1 t + 1$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [0.1 t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$(0.1 t + 1) \frac{1}{2 t} + \ln (t^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d t} [0.1 t] + \frac{d}{d t} [1])$

Bước 15

Vì $0.1$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $0.1 t$ đối với $t$ là $0.1 \frac{d}{d t} [t]$ .

$(0.1 t + 1) \frac{1}{2 t} + \ln (t^{\frac{1}{2}}) (0.1 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1])$

Bước 16

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$(0.1 t + 1) \frac{1}{2 t} + \ln (t^{\frac{1}{2}}) (0.1 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1])$

Bước 17

Nhân $0.1$ với $1$ .

$(0.1 t + 1) \frac{1}{2 t} + \ln (t^{\frac{1}{2}}) (0.1 + \frac{d}{d t} [1])$

Bước 18

Vì $1$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $1$ đối với $t$ là $0$ .

$(0.1 t + 1) \frac{1}{2 t} + \ln (t^{\frac{1}{2}}) (0.1 + 0)$

Bước 19

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1

Cộng $0.1$ và $0$ .

$(0.1 t + 1) \frac{1}{2 t} + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \cdot 0.1$

Bước 19.2

Di chuyển $0.1$ sang phía bên trái của $\ln (t^{\frac{1}{2}})$ .

$(0.1 t + 1) \frac{1}{2 t} + 0.1 \cdot \ln (t^{\frac{1}{2}})$

Bước 20

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$0.1 t \frac{1}{2 t} + 1 \frac{1}{2 t} + 0.1 \ln (t^{\frac{1}{2}})$

Bước 20.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.2.1

Kết hợp $0.1$ và $\frac{1}{2 t}$ .

$t \frac{0.1}{2 t} + 1 \frac{1}{2 t} + 0.1 \ln (t^{\frac{1}{2}})$

Bước 20.2.2

Kết hợp $t$ và $\frac{0.1}{2 t}$ .

$\frac{t \cdot 0.1}{2 t} + 1 \frac{1}{2 t} + 0.1 \ln (t^{\frac{1}{2}})$

Bước 20.2.3

Di chuyển $0.1$ sang phía bên trái của $t$ .

$\frac{0.1 \cdot t}{2 t} + 1 \frac{1}{2 t} + 0.1 \ln (t^{\frac{1}{2}})$

Bước 20.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{0.1 t}{2 t} + 1 \frac{1}{2 t} + 0.1 \ln (t^{\frac{1}{2}})$

Bước 20.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{0.1}{2} + 1 \frac{1}{2 t} + 0.1 \ln (t^{\frac{1}{2}})$

Bước 20.2.5

Nhân $\frac{1}{2 t}$ với $1$ .

$\frac{0.1}{2} + \frac{1}{2 t} + 0.1 \ln (t^{\frac{1}{2}})$

Bước 20.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{2 t} + 0.1 \ln (t^{\frac{1}{2}}) + \frac{0.1}{2}$

Bước 20.4

Chia $0.1$ cho $2$ .

$\frac{1}{2 t} + 0.1 \ln (t^{\frac{1}{2}}) + 0.05$