Giải tích Ví dụ

$f (x) = \sin (x) \ln (5 x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = \ln (5 x)$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\ln (5 x)] + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = 5 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $5 x$ .

$\sin (x) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [5 x]) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$\sin (x) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [5 x]) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $5 x$ .

$\sin (x) (\frac{1}{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp $\frac{1}{5 x}$ và $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{5 x} \frac{d}{d x} [5 x] + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 3.2

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\sin (x)}{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 3.3

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Kết hợp $5$ và $\frac{\sin (x)}{5 x}$ .

$\frac{5 \sin (x)}{5 x} \frac{d}{d x} [x] + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5 \sin (x)}{5 x} \frac{d}{d x} [x] + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 3.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sin (x)}{x} \frac{d}{d x} [x] + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\sin (x)}{x} \cdot 1 + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 3.5

Nhân $\frac{\sin (x)}{x}$ với $1$ .

$\frac{\sin (x)}{x} + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 4

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{x} + \ln (5 x) \cos (x)$

Bước 5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\cos (x) \ln (5 x) + \frac{\sin (x)}{x}$