Giải tích Ví dụ

$\frac{1 - x e^{x}}{x + e^{x}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = 1 - x e^{x}$ và $g (x) = x + e^{x}$ .

$\frac{(x + e^{x}) \frac{d}{d x} [1 - x e^{x}] - (1 - x e^{x}) \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - x e^{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x e^{x}]$ .

$\frac{(x + e^{x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x e^{x}]) - (1 - x e^{x}) \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Bước 2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(x + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [- x e^{x}]) - (1 - x e^{x}) \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Bước 2.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- x e^{x}]$ .

$\frac{(x + e^{x}) \frac{d}{d x} [- x e^{x}] - (1 - x e^{x}) \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Bước 2.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x e^{x}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$\frac{(x + e^{x}) (- \frac{d}{d x} [x e^{x}]) - (1 - x e^{x}) \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{(x + e^{x}) (- (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])) - (1 - x e^{x}) \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{(x + e^{x}) (- (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])) - (1 - x e^{x}) \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Bước 5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(x + e^{x}) (- (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)) - (1 - x e^{x}) \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Bước 5.2

Nhân $e^{x}$ với $1$ .

$\frac{(x + e^{x}) (- (x e^{x} + e^{x})) - (1 - x e^{x}) \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Bước 5.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + e^{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(x + e^{x}) (- (x e^{x} + e^{x})) - (1 - x e^{x}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Bước 5.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(x + e^{x}) (- (x e^{x} + e^{x})) - (1 - x e^{x}) (1 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Bước 6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{(x + e^{x}) (- (x e^{x} + e^{x})) - (1 - x e^{x}) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(x + e^{x}) (- (x e^{x}) - e^{x}) - (1 - x e^{x}) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Bước 7.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(x + e^{x}) (- (x e^{x}) - e^{x}) + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Bước 7.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.1

Khai triển $(x + e^{x}) (- x e^{x} - e^{x})$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x (- x e^{x} - e^{x}) + e^{x} (- x e^{x} - e^{x}) + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Bước 7.3.1.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x (- x e^{x}) + x (- e^{x}) + e^{x} (- x e^{x} - e^{x}) + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Bước 7.3.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x (- x e^{x}) + x (- e^{x}) + e^{x} (- x e^{x}) + e^{x} (- e^{x}) + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Bước 7.3.1.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.2.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{- x (x e^{x}) + x (- e^{x}) + e^{x} (- x e^{x}) + e^{x} (- e^{x}) + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Bước 7.3.1.2.2

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.2.2.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{- (x \cdot x) e^{x} + x (- e^{x}) + e^{x} (- x e^{x}) + e^{x} (- e^{x}) + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Bước 7.3.1.2.2.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} + x (- e^{x}) + e^{x} (- x e^{x}) + e^{x} (- e^{x}) + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Bước 7.3.1.2.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} + e^{x} (- x e^{x}) + e^{x} (- e^{x}) + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Bước 7.3.1.2.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{x} (x e^{x}) + e^{x} (- e^{x}) + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Bước 7.3.1.2.5

Nhân $e^{x}$ với $e^{x}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.2.5.1

Di chuyển $e^{x}$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - (e^{x} e^{x}) x + e^{x} (- e^{x}) + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Bước 7.3.1.2.5.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{x + x} x + e^{x} (- e^{x}) + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Bước 7.3.1.2.5.3

Cộng $x$ và $x$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x + e^{x} (- e^{x}) + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Bước 7.3.1.2.6

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{x} e^{x} + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Bước 7.3.1.2.7

Nhân $e^{x}$ với $e^{x}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.2.7.1

Di chuyển $e^{x}$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - (e^{x} e^{x}) + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Bước 7.3.1.2.7.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{x + x} + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Bước 7.3.1.2.7.3

Cộng $x$ và $x$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Bước 7.3.1.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.3.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} + (- 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Bước 7.3.1.3.2

Nhân $- (- x e^{x})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.3.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} + (- 1 + 1 (x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Bước 7.3.1.3.2.2

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} + (- 1 + x e^{x}) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Bước 7.3.1.4

Khai triển $(- 1 + x e^{x}) (1 + e^{x})$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 1 (1 + e^{x}) + x e^{x} (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Bước 7.3.1.4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 1 \cdot 1 - 1 e^{x} + x e^{x} (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Bước 7.3.1.4.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 1 \cdot 1 - 1 e^{x} + x e^{x} \cdot 1 + x e^{x} e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Bước 7.3.1.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.5.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 1 - 1 e^{x} + x e^{x} \cdot 1 + x e^{x} e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Bước 7.3.1.5.2

Viết lại $- 1 e^{x}$ ở dạng $- e^{x}$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 1 - e^{x} + x e^{x} \cdot 1 + x e^{x} e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Bước 7.3.1.5.3

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 1 - e^{x} + x e^{x} + x e^{x} e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Bước 7.3.1.5.4

Nhân $e^{x}$ với $e^{x}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.5.4.1

Di chuyển $e^{x}$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 1 - e^{x} + x e^{x} + x (e^{x} e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Bước 7.3.1.5.4.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 1 - e^{x} + x e^{x} + x e^{x + x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Bước 7.3.1.5.4.3

Cộng $x$ và $x$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 1 - e^{x} + x e^{x} + x e^{2 x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Bước 7.3.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 1 - e^{x} + x e^{x} + x e^{2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.1

Cộng $- x e^{x}$ và $x e^{x}$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} + 0 - e^{2 x} x - e^{2 x} - 1 - e^{x} + x e^{2 x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Bước 7.3.2.2

Cộng $- x^{2} e^{x}$ và $0$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 1 - e^{x} + x e^{2 x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Bước 7.3.2.3

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $- e^{2 x} x$ và $x e^{2 x}$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 1 - e^{x} + e^{2 x} x}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Bước 7.3.2.4

Cộng $- e^{2 x} x$ và $e^{2 x} x$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} + 0 - e^{2 x} - 1 - e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Bước 7.3.2.5

Cộng $- x^{2} e^{x}$ và $0$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - e^{2 x} - 1 - e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Bước 7.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- e^{x} x^{2} - 1 - e^{2 x} - e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Bước 7.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- e^{x} x^{2}$ .

$\frac{- (e^{x} x^{2}) - 1 - e^{2 x} - e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Bước 7.6

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$\frac{- (e^{x} x^{2}) - 1 (1) - e^{2 x} - e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Bước 7.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (e^{x} x^{2}) - 1 (1)$ .

$\frac{- (e^{x} x^{2} + 1) - e^{2 x} - e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Bước 7.8

Đưa $- 1$ ra ngoài $- e^{2 x}$ .

$\frac{- (e^{x} x^{2} + 1) - (e^{2 x}) - e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Bước 7.9

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (e^{x} x^{2} + 1) - (e^{2 x})$ .

$\frac{- (e^{x} x^{2} + 1 + e^{2 x}) - e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Bước 7.10

Đưa $- 1$ ra ngoài $- e^{x}$ .

$\frac{- (e^{x} x^{2} + 1 + e^{2 x}) - (e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Bước 7.11

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (e^{x} x^{2} + 1 + e^{2 x}) - (e^{x})$ .

$\frac{- (e^{x} x^{2} + 1 + e^{2 x} + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Bước 7.12

Viết lại $- (e^{x} x^{2} + 1 + e^{2 x} + e^{x})$ ở dạng $- 1 (e^{x} x^{2} + 1 + e^{2 x} + e^{x})$ .

$\frac{- 1 (e^{x} x^{2} + 1 + e^{2 x} + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Bước 7.13

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{e^{x} x^{2} + 1 + e^{2 x} + e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Bước 7.14

Sắp xếp lại các thừa số trong $- \frac{e^{x} x^{2} + 1 + e^{2 x} + e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$ .

$- \frac{x^{2} e^{x} + 1 + e^{2 x} + e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$