Giải tích Ví dụ

$f (x) = {(x^{2} + 1)}^{9}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{9}$ và $g (x) = x^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} + 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{9}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 9$ .

$f' (x) = 9 u^{8} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Bước 1.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 1$ .

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 1)}^{8} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 1)}^{8} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 1)}^{8} (2 x + \frac{d}{d x} (1))$

Bước 1.2.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 1)}^{8} (2 x + 0)$

Bước 1.2.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 1)}^{8} (2 x)$

Bước 1.2.4.2

Nhân $2$ với $9$ .

$f' (x) = 18 {(x^{2} + 1)}^{8} x$

Bước 1.2.4.3

Sắp xếp lại các thừa số của $18 {(x^{2} + 1)}^{8} x$ .

$f' (x) = 18 x {(x^{2} + 1)}^{8}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $18$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $18 x {(x^{2} + 1)}^{8}$ đối với $x$ là $18 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 1)}^{8}]$ .

$f'' (x) = 18 \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 1)}^{8})$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{8}$ .

$f'' (x) = 18 (x \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 1)}^{8}) + {(x^{2} + 1)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{8}$ và $g (x) = x^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = 18 (x (\frac{d}{d u} (u^{8}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)) + {(x^{2} + 1)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 8$ .

$f'' (x) = 18 (x (8 u^{7} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)) + {(x^{2} + 1)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Bước 2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = 18 (x (8 {(x^{2} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)) + {(x^{2} + 1)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 18 (x (8 {(x^{2} + 1)}^{7} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))) + {(x^{2} + 1)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Bước 2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f'' (x) = 18 (x (8 {(x^{2} + 1)}^{7} (2 x + \frac{d}{d x} (1))) + {(x^{2} + 1)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Bước 2.4.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = 18 (x (8 {(x^{2} + 1)}^{7} (2 x + 0)) + {(x^{2} + 1)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Bước 2.4.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.4.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$f'' (x) = 18 (x (8 {(x^{2} + 1)}^{7} (2 x)) + {(x^{2} + 1)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Bước 2.4.4.2

Nhân $2$ với $8$ .

$f'' (x) = 18 (x (16 {(x^{2} + 1)}^{7} x) + {(x^{2} + 1)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Bước 2.5

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = 18 (x \cdot x (16 {(x^{2} + 1)}^{7}) + {(x^{2} + 1)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Bước 2.6

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = 18 (x \cdot x (16 {(x^{2} + 1)}^{7}) + {(x^{2} + 1)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Bước 2.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = 18 (x^{1 + 1} (16 {(x^{2} + 1)}^{7}) + {(x^{2} + 1)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Bước 2.8

Cộng $1$ và $1$ .

$f'' (x) = 18 (x^{2} (16 {(x^{2} + 1)}^{7}) + {(x^{2} + 1)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Bước 2.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = 18 (x^{2} (16 {(x^{2} + 1)}^{7}) + {(x^{2} + 1)}^{8} \cdot 1)$

Bước 2.10

Nhân ${(x^{2} + 1)}^{8}$ với $1$ .

$f'' (x) = 18 (x^{2} (16 {(x^{2} + 1)}^{7}) + {(x^{2} + 1)}^{8})$

Bước 2.11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = 18 (x^{2} (16 {(x^{2} + 1)}^{7})) + 18 {(x^{2} + 1)}^{8}$

Bước 2.11.2

Nhân $16$ với $18$ .

$f'' (x) = 288 (x^{2} ({(x^{2} + 1)}^{7})) + 18 {(x^{2} + 1)}^{8}$

Bước 2.11.3

Đưa $18 {(x^{2} + 1)}^{7}$ ra ngoài $288 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{7} + 18 {(x^{2} + 1)}^{8}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.3.1

Đưa $18 {(x^{2} + 1)}^{7}$ ra ngoài $288 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{7}$ .

$f'' (x) = 18 {(x^{2} + 1)}^{7} (16 x^{2}) + 18 {(x^{2} + 1)}^{8}$

Bước 2.11.3.2

Đưa $18 {(x^{2} + 1)}^{7}$ ra ngoài $18 {(x^{2} + 1)}^{8}$ .

$f'' (x) = 18 {(x^{2} + 1)}^{7} (16 x^{2}) + 18 {(x^{2} + 1)}^{7} (x^{2} + 1)$

Bước 2.11.3.3

Đưa $18 {(x^{2} + 1)}^{7}$ ra ngoài $18 {(x^{2} + 1)}^{7} (16 x^{2}) + 18 {(x^{2} + 1)}^{7} (x^{2} + 1)$ .

$f'' (x) = 18 {(x^{2} + 1)}^{7} (16 x^{2} + x^{2} + 1)$

Bước 2.11.4

Cộng $16 x^{2}$ và $x^{2}$ .

$f'' (x) = 18 {(x^{2} + 1)}^{7} (17 x^{2} + 1)$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc 3.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $18$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $18 {(x^{2} + 1)}^{7} (17 x^{2} + 1)$ đối với $x$ là $18 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{7} (17 x^{2} + 1)]$ .

$f''' (x) = 18 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 1)}^{7} (17 x^{2} + 1))$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = {(x^{2} + 1)}^{7}$ và $g (x) = 17 x^{2} + 1$ .

$f''' (x) = 18 ({(x^{2} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} (17 x^{2} + 1) + (17 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 1)}^{7}))$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $17 x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [17 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f''' (x) = 18 ({(x^{2} + 1)}^{7} (\frac{d}{d x} (17 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)) + (17 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 1)}^{7}))$

Bước 3.3.2

Vì $17$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $17 x^{2}$ đối với $x$ là $17 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f''' (x) = 18 ({(x^{2} + 1)}^{7} (17 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)) + (17 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 1)}^{7}))$

Bước 3.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f''' (x) = 18 ({(x^{2} + 1)}^{7} (17 (2 x) + \frac{d}{d x} (1)) + (17 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 1)}^{7}))$

Bước 3.3.4

Nhân $2$ với $17$ .

$f''' (x) = 18 ({(x^{2} + 1)}^{7} (34 x + \frac{d}{d x} (1)) + (17 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 1)}^{7}))$

Bước 3.3.5

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$f''' (x) = 18 ({(x^{2} + 1)}^{7} (34 x + 0) + (17 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 1)}^{7}))$

Bước 3.3.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.6.1

Cộng $34 x$ và $0$ .

$f''' (x) = 18 ({(x^{2} + 1)}^{7} (34 x) + (17 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 1)}^{7}))$

Bước 3.3.6.2

Di chuyển $34$ sang phía bên trái của ${(x^{2} + 1)}^{7}$ .

$f''' (x) = 18 (34 \cdot ({(x^{2} + 1)}^{7} x) + (17 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 1)}^{7}))$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{7}$ và $g (x) = x^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} + 1$ .

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 1)}^{7} x + (17 x^{2} + 1) (\frac{d}{d u} (u^{7}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))$

Bước 3.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 7$ .

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 1)}^{7} x + (17 x^{2} + 1) (7 u^{6} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))$

Bước 3.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 1$ .

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 1)}^{7} x + (17 x^{2} + 1) (7 {(x^{2} + 1)}^{6} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Di chuyển $7$ sang phía bên trái của $17 x^{2} + 1$ .

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 1)}^{7} x + 7 \cdot ((17 x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{6}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))$

Bước 3.5.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 1)}^{7} x + 7 (17 x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{6} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)))$

Bước 3.5.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 1)}^{7} x + 7 (17 x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{6} (2 x + \frac{d}{d x} (1)))$

Bước 3.5.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 1)}^{7} x + 7 (17 x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{6} (2 x + 0))$

Bước 3.5.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.5.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 1)}^{7} x + 7 (17 x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{6} (2 x))$

Bước 3.5.5.2

Nhân $2$ với $7$ .

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 1)}^{7} x + 14 (17 x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{6} x)$

Bước 3.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 1)}^{7} x + (14 (17 x^{2}) + 14 \cdot 1) {(x^{2} + 1)}^{6} x)$

Bước 3.6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 1)}^{7} x) + 18 ((14 (17 x^{2}) + 14 \cdot 1) {(x^{2} + 1)}^{6} x)$

Bước 3.6.3

Nhân $34$ với $18$ .

$f''' (x) = 612 ({(x^{2} + 1)}^{7} x) + 18 ((14 (17 x^{2}) + 14 \cdot 1) {(x^{2} + 1)}^{6} x)$

Bước 3.6.4

Nhân $17$ với $14$ .

$f''' (x) = 612 {(x^{2} + 1)}^{7} x + 18 ((238 x^{2} + 14 \cdot 1) {(x^{2} + 1)}^{6} x)$

Bước 3.6.5

Nhân $14$ với $1$ .

$f''' (x) = 612 {(x^{2} + 1)}^{7} x + 18 ((238 x^{2} + 14) {(x^{2} + 1)}^{6} x)$

Bước 3.6.6

Đưa $18 {(x^{2} + 1)}^{6} x$ ra ngoài $612 {(x^{2} + 1)}^{7} x + 18 (238 x^{2} + 14) {(x^{2} + 1)}^{6} x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.6.1

Đưa $18 {(x^{2} + 1)}^{6} x$ ra ngoài $612 {(x^{2} + 1)}^{7} x$ .

$f''' (x) = 18 {(x^{2} + 1)}^{6} x (34 (x^{2} + 1)) + 18 (238 x^{2} + 14) {(x^{2} + 1)}^{6} x$

Bước 3.6.6.2

Đưa $18 {(x^{2} + 1)}^{6} x$ ra ngoài $18 (238 x^{2} + 14) {(x^{2} + 1)}^{6} x$ .

$f''' (x) = 18 {(x^{2} + 1)}^{6} x (34 (x^{2} + 1)) + 18 {(x^{2} + 1)}^{6} x (238 x^{2} + 14)$

Bước 3.6.6.3

Đưa $18 {(x^{2} + 1)}^{6} x$ ra ngoài $18 {(x^{2} + 1)}^{6} x (34 (x^{2} + 1)) + 18 {(x^{2} + 1)}^{6} x (238 x^{2} + 14)$ .

$f''' (x) = 18 {(x^{2} + 1)}^{6} x (34 (x^{2} + 1) + 238 x^{2} + 14)$

Bước 3.6.7

Sắp xếp lại các thừa số của $18 {(x^{2} + 1)}^{6} x (34 (x^{2} + 1) + 238 x^{2} + 14)$ .

$f''' (x) = 18 x {(x^{2} + 1)}^{6} (34 (x^{2} + 1) + 238 x^{2} + 14)$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc 4.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (18 x {(x^{2} + 1)}^{6} (34 x^{2} + 34 \cdot 1 + 238 x^{2} + 14))$

Bước 4.1.1.2

Nhân $34$ với $1$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (18 x {(x^{2} + 1)}^{6} (34 x^{2} + 34 + 238 x^{2} + 14))$

Bước 4.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Cộng $34 x^{2}$ và $238 x^{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (18 x {(x^{2} + 1)}^{6} (272 x^{2} + 34 + 14))$

Bước 4.1.2.2

Cộng $34$ và $14$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (18 x {(x^{2} + 1)}^{6} (272 x^{2} + 48))$

Bước 4.1.3

Vì $18$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $18 x {(x^{2} + 1)}^{6} (272 x^{2} + 48)$ đối với $x$ là $18 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 1)}^{6} (272 x^{2} + 48)]$ .

$f^{4} (x) = 18 \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 1)}^{6} (272 x^{2} + 48))$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x {(x^{2} + 1)}^{6}$ và $g (x) = 272 x^{2} + 48$ .

$f^{4} (x) = 18 (x {(x^{2} + 1)}^{6} \frac{d}{d x} (272 x^{2} + 48) + (272 x^{2} + 48) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 1)}^{6}))$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $272 x^{2} + 48$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [272 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48]$ .

$f^{4} (x) = 18 (x {(x^{2} + 1)}^{6} (\frac{d}{d x} (272 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48)) + (272 x^{2} + 48) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 1)}^{6}))$

Bước 4.3.2

Vì $272$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $272 x^{2}$ đối với $x$ là $272 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f^{4} (x) = 18 (x {(x^{2} + 1)}^{6} (272 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (48)) + (272 x^{2} + 48) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 1)}^{6}))$

Bước 4.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f^{4} (x) = 18 (x {(x^{2} + 1)}^{6} (272 (2 x) + \frac{d}{d x} (48)) + (272 x^{2} + 48) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 1)}^{6}))$

Bước 4.3.4

Nhân $2$ với $272$ .

$f^{4} (x) = 18 (x {(x^{2} + 1)}^{6} (544 x + \frac{d}{d x} (48)) + (272 x^{2} + 48) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 1)}^{6}))$

Bước 4.3.5

Vì $48$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $48$ đối với $x$ là $0$ .

$f^{4} (x) = 18 (x {(x^{2} + 1)}^{6} (544 x + 0) + (272 x^{2} + 48) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 1)}^{6}))$

Bước 4.3.6

Cộng $544 x$ và $0$ .

$f^{4} (x) = 18 (x {(x^{2} + 1)}^{6} (544 x) + (272 x^{2} + 48) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 1)}^{6}))$

Bước 4.4

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f^{4} (x) = 18 (x \cdot x {(x^{2} + 1)}^{6} \cdot 544 + (272 x^{2} + 48) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 1)}^{6}))$

Bước 4.5

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f^{4} (x) = 18 (x \cdot x {(x^{2} + 1)}^{6} \cdot 544 + (272 x^{2} + 48) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 1)}^{6}))$

Bước 4.6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f^{4} (x) = 18 (x^{1 + 1} {(x^{2} + 1)}^{6} \cdot 544 + (272 x^{2} + 48) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 1)}^{6}))$

Bước 4.7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Cộng $1$ và $1$ .

$f^{4} (x) = 18 (x^{2} {(x^{2} + 1)}^{6} \cdot 544 + (272 x^{2} + 48) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 1)}^{6}))$

Bước 4.7.2

Di chuyển $544$ sang phía bên trái của $x^{2} {(x^{2} + 1)}^{6}$ .

$f^{4} (x) = 18 (544 \cdot (x^{2} {(x^{2} + 1)}^{6}) + (272 x^{2} + 48) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 1)}^{6}))$

Bước 4.8

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{6} + (272 x^{2} + 48) (x \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 1)}^{6}) + {(x^{2} + 1)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

Bước 4.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{6}$ và $g (x) = x^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.9.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} + 1$ .

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{6} + (272 x^{2} + 48) (x (\frac{d}{d u} (u^{6}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)) + {(x^{2} + 1)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

Bước 4.9.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 6$ .

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{6} + (272 x^{2} + 48) (x (6 u^{5} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)) + {(x^{2} + 1)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

Bước 4.9.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 1$ .

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{6} + (272 x^{2} + 48) (x (6 {(x^{2} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)) + {(x^{2} + 1)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

Bước 4.10

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.10.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{6} + (272 x^{2} + 48) (x (6 {(x^{2} + 1)}^{5} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))) + {(x^{2} + 1)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

Bước 4.10.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{6} + (272 x^{2} + 48) (x (6 {(x^{2} + 1)}^{5} (2 x + \frac{d}{d x} (1))) + {(x^{2} + 1)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

Bước 4.10.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{6} + (272 x^{2} + 48) (x (6 {(x^{2} + 1)}^{5} (2 x + 0)) + {(x^{2} + 1)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

Bước 4.10.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.10.4.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{6} + (272 x^{2} + 48) (x (6 {(x^{2} + 1)}^{5} (2 x)) + {(x^{2} + 1)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

Bước 4.10.4.2

Nhân $2$ với $6$ .

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{6} + (272 x^{2} + 48) (x (12 {(x^{2} + 1)}^{5} x) + {(x^{2} + 1)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

Bước 4.11

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{6} + (272 x^{2} + 48) (x \cdot x (12 {(x^{2} + 1)}^{5}) + {(x^{2} + 1)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

Bước 4.12

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{6} + (272 x^{2} + 48) (x \cdot x (12 {(x^{2} + 1)}^{5}) + {(x^{2} + 1)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

Bước 4.13

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{6} + (272 x^{2} + 48) (x^{1 + 1} (12 {(x^{2} + 1)}^{5}) + {(x^{2} + 1)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

Bước 4.14

Cộng $1$ và $1$ .

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{6} + (272 x^{2} + 48) (x^{2} (12 {(x^{2} + 1)}^{5}) + {(x^{2} + 1)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

Bước 4.15

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{6} + (272 x^{2} + 48) (x^{2} (12 {(x^{2} + 1)}^{5}) + {(x^{2} + 1)}^{6} \cdot 1))$

Bước 4.16

Nhân ${(x^{2} + 1)}^{6}$ với $1$ .

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{6} + (272 x^{2} + 48) (x^{2} (12 {(x^{2} + 1)}^{5}) + {(x^{2} + 1)}^{6}))$

Bước 5

Căn bậc bốn của $f (x)$ đối với $x$ là $18 (544 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{6} + (272 x^{2} + 48) (x^{2} (12 {(x^{2} + 1)}^{5}) + {(x^{2} + 1)}^{6}))$ .

$18 (544 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{6} + (272 x^{2} + 48) (x^{2} (12 {(x^{2} + 1)}^{5}) + {(x^{2} + 1)}^{6}))$