Giải tích Ví dụ

$\int_{\frac{π}{2}}^{2 π} x \sin (x) d x$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = \sin (x)$ .

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{2 π} - \int_{\frac{π}{2}}^{2 π} - \cos (x) d x$

Bước 2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{2 π} - - \int_{\frac{π}{2}}^{2 π} \cos (x) d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{2 π} + 1 \int_{\frac{π}{2}}^{2 π} \cos (x) d x$

Bước 3.2

Nhân $\int_{\frac{π}{2}}^{2 π} \cos (x) d x$ với $1$ .

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{2 π} + \int_{\frac{π}{2}}^{2 π} \cos (x) d x$

Bước 4

Tích phân của $\cos (x)$ đối với $x$ là $\sin (x)$ .

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{2 π} + \sin (x)]_{\frac{π}{2}}^{2 π}$

Bước 5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{2 π}$ và $\sin (x)]_{\frac{π}{2}}^{2 π}$ .

$x (- \cos (x)) + \sin (x)]_{\frac{π}{2}}^{2 π}$

Bước 5.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Tính $x (- \cos (x)) + \sin (x)$ tại $2 π$ và tại $\frac{π}{2}$ .

$(2 π (- \cos (2 π)) + \sin (2 π)) - (\frac{π}{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + \sin (\frac{π}{2}))$

Bước 5.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (\frac{π}{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + \sin (\frac{π}{2}))$

Bước 5.2.2.2

Kết hợp $\frac{π}{2}$ và $\cos (\frac{π}{2})$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}))$

Bước 5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{2})$ là $0$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{π \cdot 0}{2} + \sin (\frac{π}{2}))$

Bước 5.3.2

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{π \cdot 0}{2} + 1)$

Bước 5.3.3

Nhân $π$ với $0$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{0}{2} + 1)$

Bước 5.3.4

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{2 (0)}{2} + 1)$

Bước 5.3.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + 1)$

Bước 5.3.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + 1)$

Bước 5.3.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{0}{1} + 1)$

Bước 5.3.4.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- 0 + 1)$

Bước 5.3.5

Nhân $- 1$ với $0$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (0 + 1)$

Bước 5.3.6

Cộng $0$ và $1$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - 1 \cdot 1$

Bước 5.3.7

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - 1$

Bước 5.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Trừ vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$- 2 π \cos (0) + \sin (2 π) - 1$

Bước 5.4.2

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$- 2 π \cdot 1 + \sin (2 π) - 1$

Bước 5.4.3

Nhân $- 2$ với $1$ .

$- 2 π + \sin (2 π) - 1$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Trừ vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$- 2 π + \sin (0) - 1$

Bước 6.1.2

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$- 2 π + 0 - 1$

Bước 6.2

Cộng $- 2 π$ và $0$ .

$- 2 π - 1$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- 2 π - 1$

Dạng thập phân:

$- 7.28318530 \dots$