Giải tích Ví dụ

$\int e^{- 3 x} \sec (e^{- 3 x}) \tan (e^{- 3 x}) d x$

Bước 1

Giả sử $u_{1} = - 3 x$ . Sau đó $d u_{1} = - 3 d x$ , nên $- \frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{1} = - 3 x$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$

Bước 1.1.2

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 x$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Bước 1.1.4

Nhân $- 3$ với $1$ .

$- 3$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \sec (e^{u_{1}}) \tan (e^{u_{1}}) \frac{1}{- 3} d u_{1}$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int e^{u_{1}} \sec (e^{u_{1}}) \tan (e^{u_{1}}) (- \frac{1}{3}) d u_{1}$

Bước 2.2

Kết hợp $e^{u_{1}}$ và $\frac{1}{3}$ .

$\int \sec (e^{u_{1}}) \tan (e^{u_{1}}) (- \frac{e^{u_{1}}}{3}) d u_{1}$

Bước 2.3

Kết hợp $\sec (e^{u_{1}})$ và $\frac{e^{u_{1}}}{3}$ .

$\int \tan (e^{u_{1}}) (- \frac{\sec (e^{u_{1}}) e^{u_{1}}}{3}) d u_{1}$

Bước 2.4

Kết hợp $\tan (e^{u_{1}})$ và $\frac{\sec (e^{u_{1}}) e^{u_{1}}}{3}$ .

$\int - \frac{\tan (e^{u_{1}}) \sec (e^{u_{1}}) e^{u_{1}}}{3} d u_{1}$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int \frac{\tan (e^{u_{1}}) \sec (e^{u_{1}}) e^{u_{1}}}{3} d u_{1}$

Bước 4

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$- (\frac{1}{3} \int \tan (e^{u_{1}}) \sec (e^{u_{1}}) e^{u_{1}} d u_{1})$

Bước 5

Giả sử $u_{2} = e^{u_{1}}$ . Sau đó $d u_{2} = e^{u_{1}} d u_{1}$ , nên $\frac{1}{e^{u_{1}}} d u_{2} = d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u_{2} = e^{u_{1}}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $e^{u_{1}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}]$

Bước 5.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}}$

Bước 5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{3} \int \tan (u_{2}) \sec (u_{2}) d u_{2}$

Bước 6

Vì đạo hàm của $\sec (u_{2})$ là $\tan (u_{2}) \sec (u_{2})$ , tích phân của $\tan (u_{2}) \sec (u_{2})$ là $\sec (u_{2})$ .

$- \frac{1}{3} (\sec (u_{2}) + C)$

Bước 7

Rút gọn.

$- \frac{1}{3} \sec (u_{2}) + C$

Bước 8

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $e^{u_{1}}$ .

$- \frac{1}{3} \sec (e^{u_{1}}) + C$

Bước 8.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $- 3 x$ .

$- \frac{1}{3} \sec (e^{- 3 x}) + C$