Giải tích Ví dụ

$\int \sqrt[3]{3 - 4 x^{2}} (- 8 x) d x$

Bước 1

Vì $- 8$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 8$ ra khỏi tích phân.

$- 8 \int \sqrt[3]{3 - 4 x^{2}} (x) d x$

Bước 2

Giả sử $u = 3 - 4 x^{2}$ . Sau đó $d u = - 8 x d x$ , nên $- \frac{1}{8} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = 3 - 4 x^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $3 - 4 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [3 - 4 x^{2}]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 - 4 x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Bước 2.1.2.2

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 4 x^{2}$ đối với $x$ là $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 - 4 (2 x)$

Bước 2.1.3.3

Nhân $2$ với $- 4$ .

$0 - 8 x$

Bước 2.1.4

Trừ $8 x$ khỏi $0$ .

$- 8 x$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$- 8 \int \sqrt[3]{u} \frac{1}{- 8} d u$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- 8 \int \sqrt[3]{u} (- \frac{1}{8}) d u$

Bước 3.2

Kết hợp $\sqrt[3]{u}$ và $\frac{1}{8}$ .

$- 8 \int - \frac{\sqrt[3]{u}}{8} d u$

Bước 4

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- 8 (- \int \frac{\sqrt[3]{u}}{8} d u)$

Bước 5

Nhân $- 1$ với $- 8$ .

$8 \int \frac{\sqrt[3]{u}}{8} d u$

Bước 6

Vì $\frac{1}{8}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{8}$ ra khỏi tích phân.

$8 (\frac{1}{8} \int \sqrt[3]{u} d u)$

Bước 7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Kết hợp $\frac{1}{8}$ và $8$ .

$\frac{8}{8} \int \sqrt[3]{u} d u$

Bước 7.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{8}{8} \int \sqrt[3]{u} d u$

Bước 7.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$1 \int \sqrt[3]{u} d u$

Bước 7.1.3

Nhân $\int \sqrt[3]{u} d u$ với $1$ .

$\int \sqrt[3]{u} d u$

Bước 7.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\int u^{\frac{1}{3}} d u$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{3}}$ đối với $u$ là $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Bước 9

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 - 4 x^{2}$ .

$\frac{3}{4} {(3 - 4 x^{2})}^{\frac{4}{3}} + C$