Giải tích Ví dụ

$\int \frac{x}{{(7 x^{2} + 3)}^{5}} d x d x$

Bước 1

Giả sử $u = 7 x^{2} + 3$ . Sau đó $d u = 14 x d x$ , nên $\frac{1}{14} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 7 x^{2} + 3$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $7 x^{2} + 3$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $7 x^{2} + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $7 x^{2}$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$7 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 1.1.3.3

Nhân $2$ với $7$ .

$14 x + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$14 x + 0$

Bước 1.1.4.2

Cộng $14 x$ và $0$ .

$14 x$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{5}} \cdot \frac{1}{14} d u d x$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân $\frac{1}{u^{5}}$ với $\frac{1}{14}$ .

$\int \frac{1}{u^{5} \cdot 14} d u d x$

Bước 2.2

Di chuyển $14$ sang phía bên trái của $u^{5}$ .

$\int \frac{1}{14 u^{5}} d u d x$

Bước 3

Vì $\frac{1}{14}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{14}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{14} \int \frac{1}{u^{5}} d u d x$

Bước 4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Kết hợp $d$ và $\frac{1}{14}$ .

$\frac{d}{14} \int \frac{1}{u^{5}} d u x$

Bước 4.1.2

Kết hợp $x$ và $\frac{d}{14}$ .

$\frac{x d}{14} \int \frac{1}{u^{5}} d u$

Bước 4.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Di chuyển $u^{5}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\frac{x d}{14} \int {(u^{5})}^{- 1} d u$

Bước 4.2.2

Nhân các số mũ trong ${(u^{5})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x d}{14} \int u^{5 \cdot - 1} d u$

Bước 4.2.2.2

Nhân $5$ với $- 1$ .

$\frac{x d}{14} \int u^{- 5} d u$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- 5}$ đối với $u$ là $- \frac{1}{4} u^{- 4}$ .

$\frac{x d}{14} (- \frac{1}{4} u^{- 4} + C)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Kết hợp $u^{- 4}$ và $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x d}{14} (- \frac{u^{- 4}}{4} + C)$

Bước 6.1.2

Di chuyển $u^{- 4}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x d}{14} (- \frac{1}{4 u^{4}} + C)$

Bước 6.2

Viết lại $\frac{x d}{14} (- \frac{1}{4 u^{4}} + C)$ ở dạng $\frac{1}{14} x d (- \frac{1}{4 u^{4}}) + C$ .

$\frac{1}{14} x d (- \frac{1}{4 u^{4}}) + C$

Bước 6.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Kết hợp $\frac{1}{14}$ và $x$ .

$\frac{x}{14} d (- \frac{1}{4 u^{4}}) + C$

Bước 6.3.2

Kết hợp $\frac{x}{14}$ và $d$ .

$\frac{x d}{14} (- \frac{1}{4 u^{4}}) + C$

Bước 6.3.3

Nhân $\frac{x d}{14}$ với $\frac{1}{4 u^{4}}$ .

$- \frac{x d}{14 (4 u^{4})} + C$

Bước 6.3.4

Nhân $4$ với $14$ .

$- \frac{x d}{56 u^{4}} + C$

Bước 7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $7 x^{2} + 3$ .

$- \frac{x d}{56 {(7 x^{2} + 3)}^{4}} + C$