Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) \sec^{4} (x) d x$

Bước 1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại $4$ ở dạng $2$ cộng $2$

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) {\sec (x)}^{2 + 2} d x$

Bước 1.2

Viết lại ${\sec (x)}^{2 + 2}$ ở dạng $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)) d x$

Bước 2

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\sec^{2} (x)$ ở dạng $1 + \tan^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) ((1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x)) d x$

Bước 3

Giả sử $u = \tan (x)$ . Sau đó $d u = \sec^{2} (x) d x$ , nên $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u = \tan (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Bước 3.1.2

Đạo hàm của $\tan (x)$ đối với $x$ là $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Bước 3.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = \tan (x)$ .

$u_{lower} = \tan (0)$

Bước 3.3

Giá trị chính xác của $\tan (0)$ là $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 3.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = \tan (x)$ .

$u_{upper} = \tan (\frac{π}{3})$

Bước 3.5

Giá trị chính xác của $\tan (\frac{π}{3})$ là $\sqrt{3}$ .

$u_{upper} = \sqrt{3}$

Bước 3.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \sqrt{3}$

Bước 3.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} (1 + u^{2}) d u$

Bước 4

Nhân $u^{5} (1 + u^{2})$ .

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} \cdot 1 + u^{5} u^{2} d u$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân $u^{5}$ với $1$ .

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} + u^{5} u^{2} d u$

Bước 5.2

Nhân $u^{5}$ với $u^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} + u^{5 + 2} d u$

Bước 5.2.2

Cộng $5$ và $2$ .

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} + u^{7} d u$

Bước 6

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} d u + \int_{0}^{\sqrt{3}} u^{7} d u$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{5}$ đối với $u$ là $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{6} u^{6}]_{0}^{\sqrt{3}} + \int_{0}^{\sqrt{3}} u^{7} d u$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{7}$ đối với $u$ là $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$\frac{1}{6} u^{6}]_{0}^{\sqrt{3}} + \frac{1}{8} u^{8}]_{0}^{\sqrt{3}}$

Bước 9

Kết hợp $\frac{1}{6} u^{6}]_{0}^{\sqrt{3}}$ và $\frac{1}{8} u^{8}]_{0}^{\sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + \frac{1}{8} u^{8}]_{0}^{\sqrt{3}}$

Bước 10

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Tính $\frac{1}{6} u^{6} + \frac{1}{8} u^{8}$ tại $\sqrt{3}$ và tại $0$ .

$(\frac{1}{6} {\sqrt{3}}^{6} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8}) - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Bước 10.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Viết lại ${\sqrt{3}}^{6}$ ở dạng $3^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{6} {(3^{\frac{1}{2}})}^{6} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Bước 10.2.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 6} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Bước 10.2.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $6$ .

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{6}{2}} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Bước 10.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 3}{2}} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Bước 10.2.1.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Bước 10.2.1.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Bước 10.2.1.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{3}{1}} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Bước 10.2.1.4.2.4

Chia $3$ cho $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot 3^{3} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Bước 10.2.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{1}{6} \cdot 27 + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Bước 10.2.3

Kết hợp $\frac{1}{6}$ và $27$ .

$\frac{27}{6} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Bước 10.2.4

Triệt tiêu thừa số chung của $27$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.4.1

Đưa $3$ ra ngoài $27$ .

$\frac{3 (9)}{6} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Bước 10.2.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.4.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 2} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Bước 10.2.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 2} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Bước 10.2.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Bước 10.2.5

Viết lại ${\sqrt{3}}^{8}$ ở dạng $3^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.5.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} {(3^{\frac{1}{2}})}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Bước 10.2.5.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Bước 10.2.5.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $8$ .

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{8}{2}} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Bước 10.2.5.4

Triệt tiêu thừa số chung của $8$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.5.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 4}{2}} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Bước 10.2.5.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.5.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Bước 10.2.5.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Bước 10.2.5.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{4}{1}} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Bước 10.2.5.4.2.4

Chia $4$ cho $1$ .

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{4} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Bước 10.2.6

Nâng $3$ lên lũy thừa $4$ .

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 81 - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Bước 10.2.7

Kết hợp $\frac{1}{8}$ và $81$ .

$\frac{9}{2} + \frac{81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Bước 10.2.8

Để viết $\frac{9}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{9}{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Bước 10.2.9

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $8$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.9.1

Nhân $\frac{9}{2}$ với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{9 \cdot 4}{2 \cdot 4} + \frac{81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Bước 10.2.9.2

Nhân $2$ với $4$ .

$\frac{9 \cdot 4}{8} + \frac{81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Bước 10.2.10

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{9 \cdot 4 + 81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Bước 10.2.11

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.11.1

Nhân $9$ với $4$ .

$\frac{36 + 81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Bước 10.2.11.2

Cộng $36$ và $81$ .

$\frac{117}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Bước 10.2.12

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{117}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0 + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Bước 10.2.13

Nhân $\frac{1}{6}$ với $0$ .

$\frac{117}{8} - (0 + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Bước 10.2.14

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{117}{8} - (0 + \frac{1}{8} \cdot 0)$

Bước 10.2.15

Nhân $\frac{1}{8}$ với $0$ .

$\frac{117}{8} - (0 + 0)$

Bước 10.2.16

Cộng $0$ và $0$ .

$\frac{117}{8} - 0$

Bước 10.2.17

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{117}{8} + 0$

Bước 10.2.18

Cộng $\frac{117}{8}$ và $0$ .

$\frac{117}{8}$

Bước 11

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{117}{8}$

Dạng thập phân:

$14.625$

Dạng hỗn số:

$14 \frac{5}{8}$