Giải tích Ví dụ

$\int \sin (3 y) + \cos (5 y) d y$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \sin (3 y) d y + \int \cos (5 y) d y$

Bước 2

Giả sử $u_{1} = 3 y$ . Sau đó $d u_{1} = 3 d y$ , nên $\frac{1}{3} d u_{1} = d y$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u_{1} = 3 y$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $3 y$ .

$\frac{d}{d y} [3 y]$

Bước 2.1.2

Vì $3$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $3 y$ đối với $y$ là $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 \frac{d}{d y} [y]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Bước 2.1.4

Nhân $3$ với $1$ .

$3$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int \sin (u_{1}) \frac{1}{3} d u_{1} + \int \cos (5 y) d y$

Bước 3

Kết hợp $\sin (u_{1})$ và $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{\sin (u_{1})}{3} d u_{1} + \int \cos (5 y) d y$

Bước 4

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int \cos (5 y) d y$

Bước 5

Tích phân của $\sin (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $- \cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \cos (5 y) d y$

Bước 6

Giả sử $u_{2} = 5 y$ . Sau đó $d u_{2} = 5 d y$ , nên $\frac{1}{5} d u_{2} = d y$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Hãy đặt $u_{2} = 5 y$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Tính đạo hàm $5 y$ .

$\frac{d}{d y} [5 y]$

Bước 6.1.2

Vì $5$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $5 y$ đối với $y$ là $5 \frac{d}{d y} [y]$ .

$5 \frac{d}{d y} [y]$

Bước 6.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Bước 6.1.4

Nhân $5$ với $1$ .

$5$

Bước 6.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{5} d u_{2}$

Bước 7

Kết hợp $\cos (u_{2})$ và $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \frac{\cos (u_{2})}{5} d u_{2}$

Bước 8

Vì $\frac{1}{5}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{5}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{5} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Bước 9

Tích phân của $\cos (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{5} (\sin (u_{2}) + C)$

Bước 10

Rút gọn.

$- \frac{\cos (u_{1})}{3} + \frac{1}{5} \sin (u_{2}) + C$

Bước 11

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $3 y$ .

$- \frac{\cos (3 y)}{3} + \frac{1}{5} \sin (u_{2}) + C$

Bước 11.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $5 y$ .

$- \frac{\cos (3 y)}{3} + \frac{1}{5} \sin (5 y) + C$

Bước 12

Sắp xếp lại các số hạng.

$- \frac{1}{3} \cos (3 y) + \frac{1}{5} \sin (5 y) + C$