Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\sqrt[4]{π}} x^{3} \cos (x^{4}) d x$

Bước 1

Giả sử $u_{1} = x^{2}$ . Sau đó $d u_{1} = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{1} = x^{2}$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{lower} = 0^{2}$

Bước 1.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{upper} = {\sqrt[4]{π}}^{2}$

Bước 1.5

Viết lại ${\sqrt[4]{π}}^{2}$ ở dạng $\sqrt{π}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[4]{π}$ ở dạng $π^{\frac{1}{4}}$ .

$u_{upper} = {(π^{\frac{1}{4}})}^{2}$

Bước 1.5.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = π^{\frac{1}{4} \cdot 2}$

Bước 1.5.3

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $2$ .

$u_{upper} = π^{\frac{2}{4}}$

Bước 1.5.4

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$u_{upper} = π^{\frac{2 (1)}{4}}$

Bước 1.5.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$u_{upper} = π^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Bước 1.5.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{upper} = π^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Bước 1.5.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$u_{upper} = π^{\frac{1}{2}}$

Bước 1.5.5

Viết lại $π^{\frac{1}{2}}$ ở dạng $\sqrt{π}$ .

$u_{upper} = \sqrt{π}$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \sqrt{π}$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ , $d u_{1}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({\sqrt{u_{1}}}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ ở dạng ${u_{1}}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u_{1}}$ ở dạng ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $4$ .

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{\frac{4}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.1.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.1.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.1.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{\frac{2}{1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.1.4.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{2}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $u_{1}$ .

$\int_{0}^{\sqrt{π}} \frac{u_{1}}{2} \cos ({u_{1}}^{2}) d u_{1}$

Bước 2.3

Kết hợp $\frac{u_{1}}{2}$ và $\cos ({u_{1}}^{2})$ .

$\int_{0}^{\sqrt{π}} \frac{u_{1} \cos ({u_{1}}^{2})}{2} d u_{1}$

Bước 3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{2}) d u_{1}$

Bước 4

Giả sử $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Sau đó $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Bước 4.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 u_{1}$

Bước 4.2

Thay giới hạn dưới vào cho $u_{1}$ trong $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ .

$u_{lower} = 0^{2}$

Bước 4.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 4.4

Thay giới hạn trên vào cho $u_{1}$ trong $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ .

$u_{upper} = {\sqrt{π}}^{2}$

Bước 4.5

Viết lại ${\sqrt{π}}^{2}$ ở dạng $π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{π}$ ở dạng $π^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = {(π^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Bước 4.5.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = π^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Bước 4.5.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$u_{upper} = π^{\frac{2}{2}}$

Bước 4.5.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{upper} = π^{\frac{2}{2}}$

Bước 4.5.4.2

Viết lại biểu thức.

$u_{upper} = π^{1}$

Bước 4.5.5

Rút gọn.

$u_{upper} = π$

Bước 4.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Bước 4.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ , $d u_{2}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 5

Kết hợp $\cos (u_{2})$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}$

Bước 6

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2})$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Bước 7.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{1}{4} \int_{0}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Bước 8

Tích phân của $\cos (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{4} \sin (u_{2})]_{0}^{π}$

Bước 9

Tính $\sin (u_{2})$ tại $π$ và tại $0$ .

$\frac{1}{4} (\sin (π) - \sin (0))$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$\frac{1}{4} (\sin (π) - 0)$

Bước 10.2

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{1}{4} (\sin (π) + 0)$

Bước 10.3

Cộng $\sin (π)$ và $0$ .

$\frac{1}{4} \sin (π)$

Bước 10.4

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $\sin (π)$ .

$\frac{\sin (π)}{4}$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$\frac{\sin (0)}{4}$

Bước 11.1.2

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$\frac{0}{4}$

Bước 11.2

Chia $0$ cho $4$ .

$0$