Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{1} \frac{y}{e^{2 y}} d y$

Bước 1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Làm âm số mũ của $e^{2 y}$ và đưa nó ra ngoài mẫu số.

$\int_{0}^{1} y {(e^{2 y})}^{- 1} d y$

Bước 1.2

Nhân các số mũ trong ${(e^{2 y})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{1} y e^{2 y \cdot - 1} d y$

Bước 1.2.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\int_{0}^{1} y e^{- 2 y} d y$

Bước 2

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = y$ và $d v = e^{- 2 y}$ .

$y (- \frac{1}{2} e^{- 2 y})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{1}{2} e^{- 2 y} d y$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp $e^{- 2 y}$ và $\frac{1}{2}$ .

$y (- \frac{e^{- 2 y}}{2})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{1}{2} e^{- 2 y} d y$

Bước 3.2

Kết hợp $y$ và $\frac{e^{- 2 y}}{2}$ .

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{1}{2} e^{- 2 y} d y$

Bước 4

Vì $- \frac{1}{2}$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- \frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} - (- \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{- 2 y} d y)$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + 1 (\frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{- 2 y} d y)$

Bước 5.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{- 2 y} d y$

Bước 6

Giả sử $u = - 2 y$ . Sau đó $d u = - 2 d y$ , nên $- \frac{1}{2} d u = d y$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Hãy đặt $u = - 2 y$ . Tìm $\frac{d u}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Tính đạo hàm $- 2 y$ .

$\frac{d}{d y} [- 2 y]$

Bước 6.1.2

Vì $- 2$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- 2 y$ đối với $y$ là $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 2 \frac{d}{d y} [y]$

Bước 6.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Bước 6.1.4

Nhân $- 2$ với $1$ .

$- 2$

Bước 6.2

Thay giới hạn dưới vào cho $y$ trong $u = - 2 y$ .

$u_{lower} = - 2 \cdot 0$

Bước 6.3

Nhân $- 2$ với $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 6.4

Thay giới hạn trên vào cho $y$ trong $u = - 2 y$ .

$u_{upper} = - 2 \cdot 1$

Bước 6.5

Nhân $- 2$ với $1$ .

$u_{upper} = - 2$

Bước 6.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

Bước 6.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Bước 7.2

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2} - \frac{e^{u}}{2} d u$

Bước 8

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} (- \int_{0}^{- 2} \frac{e^{u}}{2} d u)$

Bước 9

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int_{0}^{- 2} e^{u} d u))$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{- 2} e^{u} d u$

Bước 10.2

Nhân $2$ với $2$ .

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{4} \int_{0}^{- 2} e^{u} d u$

Bước 11

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{4} e^{u}]_{0}^{- 2}$

Bước 12

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Tính $- \frac{y e^{- 2 y}}{2}$ tại $1$ và tại $0$ .

$(- \frac{1 e^{- 2 \cdot 1}}{2}) + \frac{0 e^{- 2 \cdot 0}}{2} - \frac{1}{4} e^{u}]_{0}^{- 2}$

Bước 12.2

Tính $e^{u}$ tại $- 2$ và tại $0$ .

$(- \frac{1 e^{- 2 \cdot 1}}{2}) + \frac{0 e^{- 2 \cdot 0}}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Bước 12.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1

Nhân $- 2$ với $1$ .

$- \frac{1 e^{- 2}}{2} + \frac{0 e^{- 2 \cdot 0}}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Bước 12.3.2

Nhân $e^{- 2}$ với $1$ .

$- \frac{e^{- 2}}{2} + \frac{0 e^{- 2 \cdot 0}}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Bước 12.3.3

Di chuyển $e^{- 2}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{0 e^{- 2 \cdot 0}}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Bước 12.3.4

Nhân $- 2$ với $0$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{0 e^{0}}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Bước 12.3.5

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{0 \cdot 1}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Bước 12.3.6

Nhân $0$ với $1$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{0}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Bước 12.3.7

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.7.1

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{2 (0)}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Bước 12.3.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.7.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Bước 12.3.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Bước 12.3.7.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{0}{1} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Bước 12.3.7.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} + 0 - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Bước 12.3.8

Cộng $- \frac{1}{2 e^{2}}$ và $0$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Bước 12.3.9

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1 \cdot 1)$

Bước 12.3.10

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1)$

Bước 12.3.11

Để viết $- \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1)$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2 e^{2}}{2 e^{2}}$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1) \cdot \frac{2 e^{2}}{2 e^{2}}$

Bước 12.3.12

Kết hợp $- \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1)$ và $\frac{2 e^{2}}{2 e^{2}}$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{- \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1) (2 e^{2})}{2 e^{2}}$

Bước 12.3.13

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 1 - \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1) (2 e^{2})}{2 e^{2}}$

Bước 12.3.14

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{- 1 - 2 (\frac{1}{4}) (e^{- 2} - 1) e^{2}}{2 e^{2}}$

Bước 12.3.15

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- 1 + \frac{- 2}{4} (e^{- 2} - 1) e^{2}}{2 e^{2}}$

Bước 12.3.16

Kết hợp $e^{2}$ và $\frac{- 2}{4}$ .

$\frac{- 1 + \frac{e^{2} \cdot - 2}{4} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

Bước 12.3.17

Di chuyển $- 2$ sang phía bên trái của $e^{2}$ .

$\frac{- 1 + \frac{- 2 \cdot e^{2}}{4} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

Bước 12.3.18

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.18.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 e^{2}$ .

$\frac{- 1 + \frac{2 (- e^{2})}{4} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

Bước 12.3.18.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.18.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{- 1 + \frac{2 (- e^{2})}{2 (2)} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

Bước 12.3.18.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 1 + \frac{2 (- e^{2})}{2 \cdot 2} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

Bước 12.3.18.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 1 + \frac{- e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

Bước 12.3.19

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{- 1 - \frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

Bước 13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) - \frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

Bước 13.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1)$ .

$\frac{- 1 (1) - (\frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1))}{2 e^{2}}$

Bước 13.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (1) - (\frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1))$ .

$\frac{- 1 (1 + \frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1))}{2 e^{2}}$

Bước 13.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1 + \frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

Bước 14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{1 + \frac{e^{2}}{2} e^{- 2} + \frac{e^{2}}{2} \cdot - 1}{2 e^{2}}$

Bước 14.2

Nhân $\frac{e^{2}}{2} e^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Kết hợp $\frac{e^{2}}{2}$ và $e^{- 2}$ .

$- \frac{1 + \frac{e^{2} e^{- 2}}{2} + \frac{e^{2}}{2} \cdot - 1}{2 e^{2}}$

Bước 14.2.2

Nhân $e^{2}$ với $e^{- 2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.2.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{1 + \frac{e^{2 - 2}}{2} + \frac{e^{2}}{2} \cdot - 1}{2 e^{2}}$

Bước 14.2.2.2

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$- \frac{1 + \frac{e^{0}}{2} + \frac{e^{2}}{2} \cdot - 1}{2 e^{2}}$

Bước 14.2.3

Rút gọn $e^{0}$ .

$- \frac{1 + \frac{1}{2} + \frac{e^{2}}{2} \cdot - 1}{2 e^{2}}$

Bước 14.3

Kết hợp $\frac{e^{2}}{2}$ và $- 1$ .

$- \frac{1 + \frac{1}{2} + \frac{e^{2} \cdot - 1}{2}}{2 e^{2}}$

Bước 14.4

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $e^{2}$ .

$- \frac{1 + \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot e^{2}}{2}}{2 e^{2}}$

Bước 14.5

Viết lại $- 1 e^{2}$ ở dạng $- e^{2}$ .

$- \frac{1 + \frac{1}{2} + \frac{- e^{2}}{2}}{2 e^{2}}$

Bước 14.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.6.1

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$- \frac{\frac{2}{2} + \frac{1}{2} + \frac{- e^{2}}{2}}{2 e^{2}}$

Bước 14.6.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{\frac{2 + 1}{2} + \frac{- e^{2}}{2}}{2 e^{2}}$

Bước 14.6.3

Cộng $2$ và $1$ .

$- \frac{\frac{3}{2} + \frac{- e^{2}}{2}}{2 e^{2}}$

Bước 14.6.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{\frac{3 - e^{2}}{2}}{2 e^{2}}$

Bước 14.7

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$- (\frac{3 - e^{2}}{2} \cdot \frac{1}{2 e^{2}})$

Bước 14.8

Nhân $\frac{3 - e^{2}}{2} \cdot \frac{1}{2 e^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.8.1

Nhân $\frac{3 - e^{2}}{2}$ với $\frac{1}{2 e^{2}}$ .

$- \frac{3 - e^{2}}{2 (2 e^{2})}$

Bước 14.8.2

Nhân $2$ với $2$ .

$- \frac{3 - e^{2}}{4 e^{2}}$

Bước 15

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- \frac{3 - e^{2}}{4 e^{2}}$

Dạng thập phân:

$0.14849853 \dots$

Bước 16