Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) d x$

Bước 1

Sử dụng công thức góc chia đôi để viết lại $\sin^{2} (x)$ ở dạng $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$\int_{0}^{π} \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

Bước 2

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} 1 - \cos (2 x) d x$

Bước 3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{2} (\int_{0}^{π} d x + \int_{0}^{π} - \cos (2 x) d x)$

Bước 4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} - \cos (2 x) d x)$

Bước 5

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \cos (2 x) d x)$

Bước 6

Giả sử $u = 2 x$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Hãy đặt $u = 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 6.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 6.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 6.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 6.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Bước 6.3

Nhân $2$ với $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 6.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 π$

Bước 6.5

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

Bước 6.6

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - \int_{0}^{2 π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Bước 7

Kết hợp $\cos (u)$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Bước 8

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u) d u))$

Bước 9

Tích phân của $\cos (u)$ đối với $u$ là $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{2 π})$

Bước 10

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Tính $x$ tại $π$ và tại $0$ .

$\frac{1}{2} ((π) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{2 π})$

Bước 10.2

Tính $\sin (u)$ tại $2 π$ và tại $0$ .

$\frac{1}{2} ((π) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0)))$

Bước 10.3

Cộng $π$ và $0$ .

$\frac{1}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - \sin (0)))$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$\frac{1}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - 0))$

Bước 11.2

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{1}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) + 0))$

Bước 11.3

Cộng $\sin (2 π)$ và $0$ .

$\frac{1}{2} (π - \frac{1}{2} \sin (2 π))$

Bước 11.4

Kết hợp $\sin (2 π)$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Trừ vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$\frac{1}{2} (π - \frac{\sin (0)}{2})$

Bước 12.1.2

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$\frac{1}{2} (π - \frac{0}{2})$

Bước 12.2

Chia $0$ cho $2$ .

$\frac{1}{2} (π - 0)$

Bước 12.3

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{1}{2} (π + 0)$

Bước 12.4

Cộng $π$ và $0$ .

$\frac{1}{2} π$

Bước 12.5

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $π$ .

$\frac{π}{2}$

Bước 13

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{π}{2}$

Dạng thập phân:

$1.57079632 \dots$