Giải tích Ví dụ

$\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = 1 + \sin (x)$ và $g (x) = 1 - \sin (x)$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)] - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + \sin (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Bước 2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Bước 2.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Bước 3

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) \cos (x) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - \sin (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) \cos (x) - (1 + \sin (x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Bước 4.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) \cos (x) - (1 + \sin (x)) (0 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Bước 4.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) \cos (x) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Bước 4.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \sin (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) \cos (x) - (1 + \sin (x)) (- \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Bước 4.5

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) \cos (x) + 1 (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Bước 4.5.2

Nhân $1 + \sin (x)$ với $1$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) \cos (x) + (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Bước 5

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) \cos (x) + (1 + \sin (x)) \cos (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1 \cos (x) - \sin (x) \cos (x) + (1 + \sin (x)) \cos (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Bước 6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1 \cos (x) - \sin (x) \cos (x) + 1 \cos (x) + \sin (x) \cos (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Bước 6.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $1 \cos (x) - \sin (x) \cos (x) + 1 \cos (x) + \sin (x) \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1

Cộng $- \sin (x) \cos (x)$ và $\sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{1 \cos (x) + 0 + 1 \cos (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Bước 6.3.1.2

Cộng $1 \cos (x)$ và $0$ .

$\frac{1 \cos (x) + 1 \cos (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Bước 6.3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Nhân $\cos (x)$ với $1$ .

$\frac{\cos (x) + 1 \cos (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Bước 6.3.2.2

Nhân $\cos (x)$ với $1$ .

$\frac{\cos (x) + \cos (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Bước 6.3.3

Cộng $\cos (x)$ và $\cos (x)$ .

$\frac{2 \cos (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$