Giải tích Ví dụ

$\frac{x}{\sqrt{7 - 3 x}}$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{7 - 3 x}$ ở dạng ${(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 3

Nhân các số mũ trong ${({(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]}{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]}{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 3.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]}{{(7 - 3 x)}^{1}}$

Bước 4

Rút gọn.

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]}{7 - 3 x}$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]}{7 - 3 x}$

Bước 5.2

Nhân ${(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ với $1$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} [{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]}{7 - 3 x}$

Bước 6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = 7 - 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $7 - 3 x$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [7 - 3 x])}{7 - 3 x}$

Bước 6.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 - 3 x])}{7 - 3 x}$

Bước 6.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $7 - 3 x$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 - 3 x])}{7 - 3 x}$

Bước 7

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x])}{7 - 3 x}$

Bước 8

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x])}{7 - 3 x}$

Bước 9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(7 - 3 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x])}{7 - 3 x}$

Bước 10

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(7 - 3 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x])}{7 - 3 x}$

Bước 10.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(7 - 3 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x])}{7 - 3 x}$

Bước 11

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x])}{7 - 3 x}$

Bước 11.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [7 - 3 x])}{7 - 3 x}$

Bước 11.3

Di chuyển ${(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x])}{7 - 3 x}$

Bước 11.4

Kết hợp $\frac{1}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ và $x$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x]}{7 - 3 x}$

Bước 12

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $7 - 3 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 3 x])}{7 - 3 x}$

Bước 13

Vì $7$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $7$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x])}{7 - 3 x}$

Bước 14

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 3 x]}{7 - 3 x}$

Bước 15

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 x$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (- 3 \frac{d}{d x} [x])}{7 - 3 x}$

Bước 16

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Nhân $- 3$ với $- 1$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} + 3 \frac{x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]}{7 - 3 x}$

Bước 16.2

Kết hợp $3$ và $\frac{x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]}{7 - 3 x}$

Bước 17

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1}{7 - 3 x}$

Bước 18

Nhân $\frac{3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ với $1$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}}{7 - 3 x}$

Bước 19

Để viết ${(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}}{7 - 3 x}$

Bước 20

Kết hợp ${(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ và $\frac{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}}{7 - 3 x}$

Bước 21

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}) + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}}{7 - 3 x}$

Bước 22

Nhân ${(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ với ${(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.1

Di chuyển ${(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}}{7 - 3 x}$

Bước 22.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2 + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}}{7 - 3 x}$

Bước 22.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2 + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}}{7 - 3 x}$

Bước 22.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2 + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}}{7 - 3 x}$

Bước 22.5

Chia $2$ cho $2$ .

$\frac{\frac{{(7 - 3 x)}^{1} \cdot 2 + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}}{7 - 3 x}$

Bước 23

Rút gọn ${(7 - 3 x)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{\frac{(7 - 3 x) \cdot 2 + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}}{7 - 3 x}$

Bước 24

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $7 - 3 x$ .

$\frac{\frac{2 \cdot (7 - 3 x) + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}}{7 - 3 x}$

Bước 25

Viết lại $\frac{\frac{2 (7 - 3 x) + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}}{7 - 3 x}$ ở dạng một tích.

$\frac{2 (7 - 3 x) + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{7 - 3 x}$

Bước 26

Nhân $\frac{2 (7 - 3 x) + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ với $\frac{1}{7 - 3 x}$ .

$\frac{2 (7 - 3 x) + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} (7 - 3 x)}$

Bước 27

Nâng $7 - 3 x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 (7 - 3 x) + 3 x}{2 ({(7 - 3 x)}^{1} {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}})}$

Bước 28

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 (7 - 3 x) + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Bước 29

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{2 (7 - 3 x) + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Bước 30

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 (7 - 3 x) + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Bước 31

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{2 (7 - 3 x) + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 32

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 32.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 \cdot 7 + 2 (- 3 x) + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 32.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 32.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 32.2.1.1

Nhân $2$ với $7$ .

$\frac{14 + 2 (- 3 x) + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 32.2.1.2

Nhân $- 3$ với $2$ .

$\frac{14 - 6 x + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 32.2.2

Cộng $- 6 x$ và $3 x$ .

$\frac{14 - 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 32.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- 3 x + 14}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 32.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 3 x$ .

$\frac{- (3 x) + 14}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 32.5

Viết lại $14$ ở dạng $- 1 (- 14)$ .

$\frac{- (3 x) - 1 (- 14)}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 32.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (3 x) - 1 (- 14)$ .

$\frac{- (3 x - 14)}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 32.7

Viết lại $- (3 x - 14)$ ở dạng $- 1 (3 x - 14)$ .

$\frac{- 1 (3 x - 14)}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 32.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{3 x - 14}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$