Giải tích Ví dụ

$y = \frac{4 x}{x - 3}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{4 x}{x - 3})$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{4 x}{x - 3}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 3}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = x - 3$ .

$4 \frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 \frac{(x - 3) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 3.3.2

Nhân $x - 3$ với $1$ .

$4 \frac{x - 3 - x \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 3.3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$4 \frac{x - 3 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 3.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 \frac{x - 3 - x (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 3.3.5

Vì $- 3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $x$ là $0$ .

$4 \frac{x - 3 - x (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 3.3.6

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.6.1

Cộng $1$ và $0$ .

$4 \frac{x - 3 - x \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 3.3.6.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$4 \frac{x - 3 - x}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 3.3.6.3

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$4 \frac{0 - 3}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 3.3.6.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.6.4.1

Trừ $3$ khỏi $0$ .

$4 \frac{- 3}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 3.3.6.4.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$4 (- \frac{3}{{(x - 3)}^{2}})$

Bước 3.3.6.4.3

Nhân $- 1$ với $4$ .

$- 4 \frac{3}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 3.3.6.5

Kết hợp $- 4$ và $\frac{3}{{(x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{- 4 \cdot 3}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 3.3.6.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.6.6.1

Nhân $- 4$ với $3$ .

$\frac{- 12}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 3.3.6.6.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{12}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = - \frac{12}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{12}{{(x - 3)}^{2}}$