Giải tích Ví dụ

$\int t^{3} e^{- t^{2}} d t$

Bước 1

Giả sử $u = - t^{2}$ . Sau đó $d u = - 2 t d t$ , nên $- \frac{1}{2} d u = t d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = - t^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $- t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [- t^{2}]$

Bước 1.1.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- t^{2}$ đối với $t$ là $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$- \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- (2 t)$

Bước 1.1.4

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 t$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int {\sqrt{- u}}^{2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại ${\sqrt{- u}}^{2}$ ở dạng $- u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{- u}$ ở dạng ${(- u)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {({(- u)}^{\frac{1}{2}})}^{2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Bước 2.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(- u)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Bước 2.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\int {(- u)}^{\frac{2}{2}} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Bước 2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int {(- u)}^{\frac{2}{2}} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Bước 2.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$\int {(- u)}^{1} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Bước 2.1.5

Rút gọn.

$\int - u e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Bước 2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int - u e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Bước 2.3

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\int 1 u e^{u} \frac{1}{2} d u$

Bước 2.4

Nhân $u$ với $1$ .

$\int u e^{u} \frac{1}{2} d u$

Bước 2.5

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $u$ .

$\int \frac{u}{2} e^{u} d u$

Bước 2.6

Kết hợp $\frac{u}{2}$ và $e^{u}$ .

$\int \frac{u e^{u}}{2} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int u e^{u} d u$

Bước 4

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int w d v = w v - \int v d w$ , trong đó $w = u$ và $dv = e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

Bước 5

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (u e^{u} - (e^{u} + C))$

Bước 6

Rút gọn.

$\frac{1}{2} (u e^{u} - e^{u}) + C$

Bước 7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- t^{2}$ .

$\frac{1}{2} (- t^{2} e^{- t^{2}} - e^{- t^{2}}) + C$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{2} (- t^{2} e^{- t^{2}}) + \frac{1}{2} (- e^{- t^{2}}) + C$

Bước 8.2

Nhân $\frac{1}{2} (- t^{2} e^{- t^{2}})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $t^{2}$ .

$- \frac{t^{2}}{2} e^{- t^{2}} + \frac{1}{2} (- e^{- t^{2}}) + C$

Bước 8.2.2

Kết hợp $e^{- t^{2}}$ và $\frac{t^{2}}{2}$ .

$- \frac{e^{- t^{2}} t^{2}}{2} + \frac{1}{2} (- e^{- t^{2}}) + C$

Bước 8.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $e^{- t^{2}}$ .

$- \frac{e^{- t^{2}} t^{2}}{2} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + C$

Bước 8.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $- \frac{e^{- t^{2}} t^{2}}{2} - \frac{e^{- t^{2}}}{2}$ .

$- \frac{t^{2} e^{- t^{2}}}{2} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + C$

Bước 9

Sắp xếp lại các số hạng.

$- \frac{1}{2} t^{2} e^{- t^{2}} - \frac{1}{2} e^{- t^{2}} + C$