Giải tích Ví dụ

$f (x) = x e^{- x}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = e^{- x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- x$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- x$ .

$x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3.3.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $e^{- x}$ .

$x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3.3.3

Viết lại $- 1 e^{- x}$ ở dạng $- e^{- x}$ .

$x (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1$

Bước 1.3.5

Nhân $e^{- x}$ với $1$ .

$x (- e^{- x}) + e^{- x}$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$- e^{- x} x + e^{- x}$

Bước 1.4.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $- e^{- x} x + e^{- x}$ .

$- x e^{- x} + e^{- x}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- x e^{- x} + e^{- x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [- x e^{- x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x e^{- x}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} (x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Bước 2.2.2

$f'' (x) = - (x \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Bước 2.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $- x$ .

$f'' (x) = - (x (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Bước 2.2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Bước 2.2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $- x$ .

$f'' (x) = - (x (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Bước 2.2.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - (x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Bước 2.2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = - (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Bước 2.2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = - (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Bước 2.2.7

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f'' (x) = - (x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Bước 2.2.8

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Bước 2.2.9

Viết lại $- 1 e^{- x}$ ở dạng $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Bước 2.2.10

Nhân $e^{- x}$ với $1$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $- x$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x)$

Bước 2.3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x)$

Bước 2.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $- x$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)$

Bước 2.3.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)$

Bước 2.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Bước 2.3.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} \cdot - 1$

Bước 2.3.5

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 1 \cdot e^{- x}$

Bước 2.3.6

Viết lại $- 1 e^{- x}$ ở dạng $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - e^{- x}$

Bước 2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = - (x (- e^{- x})) - e^{- x} - e^{- x}$

Bước 2.4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (x (e^{- x})) - e^{- x} - e^{- x}$

Bước 2.4.2.2

Nhân $x$ với $1$ .

$f'' (x) = x e^{- x} - e^{- x} - e^{- x}$

Bước 2.4.2.3

Trừ $e^{- x}$ khỏi $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = x e^{- x} - 2 e^{- x}$

Bước 2.4.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$f'' (x) = e^{- x} x - 2 e^{- x}$

Bước 2.4.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{- x} x - 2 e^{- x}$ .

$f'' (x) = x e^{- x} - 2 e^{- x}$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$- x e^{- x} + e^{- x} = 0$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Bước 4.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- x$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Bước 4.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$f' (x) = x (e^{u} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Bước 4.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- x$ .

$f' (x) = x (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Bước 4.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Bước 4.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Bước 4.1.3.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.3.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f' (x) = x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Bước 4.1.3.3.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $e^{- x}$ .

$f' (x) = x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Bước 4.1.3.3.3

Viết lại $- 1 e^{- x}$ ở dạng $- e^{- x}$ .

$f' (x) = x (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Bước 4.1.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1$

Bước 4.1.3.5

Nhân $e^{- x}$ với $1$ .

$f' (x) = x (- e^{- x}) + e^{- x}$

Bước 4.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.4.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = - e^{- x} x + e^{- x}$

Bước 4.1.4.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $- e^{- x} x + e^{- x}$ .

$f' (x) = - x e^{- x} + e^{- x}$

Bước 4.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $- x e^{- x} + e^{- x}$ .

$- x e^{- x} + e^{- x}$

Bước 5

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $- x e^{- x} + e^{- x} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$- x e^{- x} + e^{- x} = 0$

Bước 5.2

Đưa $e^{- x}$ ra ngoài $- x e^{- x} + e^{- x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $e^{- x}$ ra ngoài $- x e^{- x}$ .

$e^{- x} (- x) + e^{- x} = 0$

Bước 5.2.2

Nhân với $1$ .

$e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1 = 0$

Bước 5.2.3

Đưa $e^{- x}$ ra ngoài $e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1$ .

$e^{- x} (- x + 1) = 0$

Bước 5.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$e^{- x} = 0$

$- x + 1 = 0$

Bước 5.4

Đặt $e^{- x}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Đặt $e^{- x}$ bằng với $0$ .

$e^{- x} = 0$

Bước 5.4.2

Giải $e^{- x} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Bước 5.4.2.2

Không thể giải phương trình vì $\ln (0)$ không xác định.

Không xác định

Bước 5.4.2.3

Không có đáp án nào cho $e^{- x} = 0$

Không có đáp án

Bước 5.5

Đặt $- x + 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Đặt $- x + 1$ bằng với $0$ .

$- x + 1 = 0$

Bước 5.5.2

Giải $- x + 1 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- x = - 1$

Bước 5.5.2.2

Chia mỗi số hạng trong $- x = - 1$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- x = - 1$ cho $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 5.5.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 5.5.2.2.2.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 5.5.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.2.3.1

Chia $- 1$ cho $- 1$ .

$x = 1$

Bước 5.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $e^{- x} (- x + 1) = 0$ đúng.

$x = 1$

Bước 6

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Bước 7

Các điểm cực trị cần tính.

$x = 1$

Bước 8

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 1$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$(1) e^{- (1)} - 2 e^{- (1)}$

Bước 9

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Nhân $e^{- (1)}$ với $1$ .

$e^{- (1)} - 2 e^{- (1)}$

Bước 9.1.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$e^{- 1} - 2 e^{- (1)}$

Bước 9.1.3

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e} - 2 e^{- (1)}$

Bước 9.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{e} - 2 e^{- 1}$

Bước 9.1.5

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e} - 2 \frac{1}{e}$

Bước 9.1.6

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{e}$ .

$\frac{1}{e} + \frac{- 2}{e}$

Bước 9.1.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{e} - \frac{2}{e}$

Bước 9.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1 - 2}{e}$

Bước 9.2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.2.1

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{- 1}{e}$

Bước 9.2.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{e}$

Bước 10

$x = 1$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = 1$ là cực đại địa phương

Bước 11

Tìm giá trị y khi $x = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f (1) = (1) \cdot e^{- (1)}$

Bước 11.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Nhân $e^{- (1)}$ với $1$ .

$f (1) = e^{- (1)}$

Bước 11.2.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f (1) = e^{- 1}$

Bước 11.2.3

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (1) = \frac{1}{e}$

Bước 11.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{1}{e}$ .

$y = \frac{1}{e}$

Bước 12

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = x e^{- x}$ .

$(1, \frac{1}{e})$ là một cực đại địa phuơng

Bước 13