Giải tích Ví dụ

$\int_{4}^{9} \frac{\ln (y)}{\sqrt{y}} d y$

Bước 1

Viết lại $\frac{\ln (y)}{\sqrt{y}}$ ở dạng một tích.

$\int_{4}^{9} \ln (y) \frac{1}{\sqrt{y}} d y$

Bước 2

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \ln (y)$ và $d v = \frac{1}{\sqrt{y}}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} 2 y^{\frac{1}{2}} \frac{1}{y} d y$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{y}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} y^{\frac{1}{2}} \frac{2}{y} d y$

Bước 3.2

Kết hợp $y^{\frac{1}{2}}$ và $\frac{2}{y}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} \frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{y} d y$

Bước 3.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} \frac{2 \cdot y^{\frac{1}{2}}}{y} d y$

Bước 3.4

Di chuyển $y^{\frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} \frac{2}{y \cdot y^{- \frac{1}{2}}} d y$

Bước 3.5

Nhân $y$ với $y^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Nhân $y$ với $y^{- \frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1.1

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} \frac{2}{y^{1} y^{- \frac{1}{2}}} d y$

Bước 3.5.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} \frac{2}{y^{1 - \frac{1}{2}}} d y$

Bước 3.5.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} \frac{2}{y^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d y$

Bước 3.5.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} \frac{2}{y^{\frac{2 - 1}{2}}} d y$

Bước 3.5.4

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} \frac{2}{y^{\frac{1}{2}}} d y$

Bước 4

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - (2 \int_{4}^{9} \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y)$

Bước 5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - 2 \int_{4}^{9} \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y$

Bước 5.2

Di chuyển $y^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - 2 \int_{4}^{9} {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y$

Bước 5.3

Nhân các số mũ trong ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - 2 \int_{4}^{9} y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y$

Bước 5.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - 2 \int_{4}^{9} y^{\frac{- 1}{2}} d y$

Bước 5.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - 2 \int_{4}^{9} y^{- \frac{1}{2}} d y$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{- \frac{1}{2}}$ đối với $y$ là $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - 2 (2 y^{\frac{1}{2}}]_{4}^{9})$

Bước 7

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tính $\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})$ tại $9$ và tại $4$ .

$(\ln (9) (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}})) - \ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 (2 y^{\frac{1}{2}}]_{4}^{9})$

Bước 7.2

Tính $2 y^{\frac{1}{2}}$ tại $9$ và tại $4$ .

$(\ln (9) (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}})) - \ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Bước 7.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$\ln (9) (2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}}) - \ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Bước 7.3.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (9) (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}) - \ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Bước 7.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (9) (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}) - \ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Bước 7.3.3.2

Viết lại biểu thức.

$\ln (9) (2 \cdot 3^{1}) - \ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Bước 7.3.4

Tính số mũ.

$\ln (9) (2 \cdot 3) - \ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Bước 7.3.5

Nhân $2$ với $3$ .

$\ln (9) \cdot 6 - \ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Bước 7.3.6

Di chuyển $6$ sang phía bên trái của $\ln (9)$ .

$6 \cdot \ln (9) - \ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Bước 7.3.7

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$6 \ln (9) - \ln (4) (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Bước 7.3.8

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \ln (9) - \ln (4) (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Bước 7.3.9

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.9.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$6 \ln (9) - \ln (4) (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Bước 7.3.9.2

Viết lại biểu thức.

$6 \ln (9) - \ln (4) (2 \cdot 2^{1}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Bước 7.3.10

Tính số mũ.

$6 \ln (9) - \ln (4) (2 \cdot 2) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Bước 7.3.11

Nhân $2$ với $2$ .

$6 \ln (9) - \ln (4) \cdot 4 - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Bước 7.3.12

Nhân $4$ với $- 1$ .

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Bước 7.3.13

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Bước 7.3.14

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Bước 7.3.15

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.15.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Bước 7.3.15.2

Viết lại biểu thức.

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (2 \cdot 3^{1} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Bước 7.3.16

Tính số mũ.

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (2 \cdot 3 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Bước 7.3.17

Nhân $2$ với $3$ .

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (6 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Bước 7.3.18

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (6 - 2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Bước 7.3.19

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (6 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

Bước 7.3.20

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.20.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (6 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

Bước 7.3.20.2

Viết lại biểu thức.

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (6 - 2 \cdot 2^{1})$

Bước 7.3.21

Tính số mũ.

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (6 - 2 \cdot 2)$

Bước 7.3.22

Nhân $- 2$ với $2$ .

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (6 - 4)$

Bước 7.3.23

Trừ $4$ khỏi $6$ .

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 \cdot 2$

Bước 7.3.24

Nhân $- 2$ với $2$ .

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 4$

Bước 8

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Viết lại $\ln (4)$ ở dạng $\ln (2^{2})$ .

$6 \ln (9) - 4 \ln (2^{2}) - 4$

Bước 8.2

Khai triển $\ln (2^{2})$ bằng cách di chuyển $2$ ra bên ngoài lôgarit.

$6 \ln (9) - 4 (2 \ln (2)) - 4$

Bước 8.3

Nhân $2$ với $- 4$ .

$6 \ln (9) - 8 \ln (2) - 4$

Bước 9

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$6 \ln (9) - 8 \ln (2) - 4$

Dạng thập phân:

$3.63817001 \dots$