Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{27} \sqrt{3 x} d x$

Bước 1

Giả sử $u = 3 x$ . Sau đó $d u = 3 d x$ , nên $\frac{1}{3} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 3 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 1.1.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Bước 1.1.4

Nhân $3$ với $1$ .

$3$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 3 x$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Bước 1.3

Nhân $3$ với $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 3 x$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 27$

Bước 1.5

Nhân $3$ với $27$ .

$u_{upper} = 81$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 81$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{0}^{81} \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

Bước 2

Kết hợp $\sqrt{u}$ và $\frac{1}{3}$ .

$\int_{0}^{81} \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{81} \sqrt{u} d u$

Bước 4

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \int_{0}^{81} u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{81}$

Bước 6

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ tại $81$ và tại $0$ .

$\frac{1}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 81^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Viết lại $81$ ở dạng $9^{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot {(9^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 9^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 9^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 9^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.4

Nâng $9$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 729 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.5

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $729$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2 \cdot 729}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.6

Nhân $2$ với $729$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1458}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.7

Triệt tiêu thừa số chung của $1458$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.7.1

Đưa $3$ ra ngoài $1458$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 486}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.7.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 486}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 486}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.7.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{3} (\frac{486}{1} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.7.2.4

Chia $486$ cho $1$ .

$\frac{1}{3} (486 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.8

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$\frac{1}{3} (486 - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.9

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (486 - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Bước 6.2.10

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.10.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{3} (486 - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Bước 6.2.10.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{3} (486 - \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

Bước 6.2.11

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{1}{3} (486 - \frac{2}{3} \cdot 0)$

Bước 6.2.12

Nhân $0$ với $- 1$ .

$\frac{1}{3} (486 + 0 (\frac{2}{3}))$

Bước 6.2.13

Nhân $0$ với $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{3} (486 + 0)$

Bước 6.2.14

Cộng $486$ và $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 486$

Bước 6.2.15

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $486$ .

$\frac{486}{3}$

Bước 6.2.16

Triệt tiêu thừa số chung của $486$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.16.1

Đưa $3$ ra ngoài $486$ .

$\frac{3 \cdot 162}{3}$

Bước 6.2.16.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.16.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{3 \cdot 162}{3 (1)}$

Bước 6.2.16.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \cdot 162}{3 \cdot 1}$

Bước 6.2.16.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{162}{1}$

Bước 6.2.16.2.4

Chia $162$ cho $1$ .

$162$

Bước 7