Giải tích Ví dụ

$\int x \sqrt{1 - x^{2}} d x$

Bước 1

Giả sử $u = 1 - x^{2}$ . Sau đó $d u = - 2 x d x$ , nên $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 1 - x^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 1.1.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Bước 1.1.3.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$0 - 2 x$

Bước 1.1.4

Trừ $2 x$ khỏi $0$ .

$- 2 x$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Bước 2.2

Kết hợp $\sqrt{u}$ và $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Bước 4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$- (\frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u)$

Bước 5

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Viết lại $- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ ở dạng $- \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Nhân $\frac{2}{3}$ với $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 2} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 7.2.2

Nhân $3$ với $2$ .

$- \frac{2}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 7.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$- \frac{2 (1)}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 7.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 7.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 7.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 - x^{2}$ .

$- \frac{1}{3} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$