Giải tích Ví dụ

$\frac{\sqrt{x} (x - 3)}{3}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}} (x - 3)}{3}]$

Bước 1.2

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x^{\frac{1}{2}} (x - 3)}{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} (x - 3)]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} (x - 3)]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = x - 3$ .

$\frac{1}{3} (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 3] + (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{1}{3} (x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{3} (x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Bước 3.3

Vì $- 3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{3} (x^{\frac{1}{2}} (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Bước 3.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{1}{3} (x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Bước 3.4.2

Nhân $x^{\frac{1}{2}}$ với $1$ .

$\frac{1}{3} (x^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} (x^{\frac{1}{2}} + (x - 3) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Bước 4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (x^{\frac{1}{2}} + (x - 3) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Bước 5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (x^{\frac{1}{2}} + (x - 3) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Bước 6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{3} (x^{\frac{1}{2}} + (x - 3) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Bước 7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{3} (x^{\frac{1}{2}} + (x - 3) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Bước 7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{3} (x^{\frac{1}{2}} + (x - 3) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Bước 8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{3} (x^{\frac{1}{2}} + (x - 3) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Bước 9

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (x^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Bước 10

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} (x^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{3} (x^{\frac{1}{2}} + x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Bước 11.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3} (x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + \frac{1}{3} (- 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Bước 11.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{3} (- 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Bước 11.3.2

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} (- 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Bước 11.3.3

Nhân $x$ với $x^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.3.1

Nhân $x$ với $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.3.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} (- 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Bước 11.3.3.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} (- 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Bước 11.3.3.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} (- 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Bước 11.3.3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} (- 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Bước 11.3.3.4

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} (- 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Bước 11.3.4

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{1}{3} (- 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Bước 11.3.5

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{1}{3} (- 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Bước 11.3.6

Kết hợp $- 3$ và $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{1}{3} \cdot \frac{- 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 11.3.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{1}{3} (- \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Bước 11.3.8

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{3}{3 (2 x^{\frac{1}{2}})}$

Bước 11.3.9

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{3}{6 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 11.3.10

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{3 (1)}{6 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 11.3.11

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.11.1

Đưa $3$ ra ngoài $6 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{3 (1)}{3 (2 x^{\frac{1}{2}})}$

Bước 11.3.11.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{3 \cdot 1}{3 (2 x^{\frac{1}{2}})}$

Bước 11.3.11.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 11.3.12

Để viết $\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{6}{6}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{6}{6} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 11.3.13

Kết hợp $\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}}$ và $\frac{6}{6}$ .

$\frac{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} \cdot 6}{6} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 11.3.14

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} \cdot 6 + x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 11.3.15

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{3} \cdot 6 + x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 11.3.16

Kết hợp $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{3}$ và $6$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 6}{3} + x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 11.3.17

Di chuyển $6$ sang phía bên trái của $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{6 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{3} + x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 11.3.18

Đưa $3$ ra ngoài $6 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{3 (2 x^{\frac{1}{2}})}{3} + x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 11.3.19

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.19.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{\frac{3 (2 x^{\frac{1}{2}})}{3 (1)} + x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 11.3.19.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{3 (2 x^{\frac{1}{2}})}{3 \cdot 1} + x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 11.3.19.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{1} + x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 11.3.19.4

Chia $2 x^{\frac{1}{2}}$ cho $1$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 11.3.20

Cộng $2 x^{\frac{1}{2}}$ và $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 11.3.21

Đưa $3$ ra ngoài $3 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 (x^{\frac{1}{2}})}{6} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 11.3.22

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.22.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 11.3.22.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 11.3.22.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$