Giải tích Ví dụ

$\int \frac{e^{\sqrt{y}}}{\sqrt{y}} d y$

Bước 1

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{y}$ ở dạng $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{e^{y^{\frac{1}{2}}}}{\sqrt{y}} d y$

Bước 1.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{y}$ ở dạng $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{e^{y^{\frac{1}{2}}}}{y^{\frac{1}{2}}} d y$

Bước 1.3

Di chuyển $y^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int e^{y^{\frac{1}{2}}} {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y$

Bước 1.4

Nhân các số mũ trong ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int e^{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y$

Bước 1.4.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\int e^{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{- 1}{2}} d y$

Bước 1.4.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int e^{y^{\frac{1}{2}}} y^{- \frac{1}{2}} d y$

Bước 2

Giả sử $u = y^{\frac{1}{2}}$ . Sau đó $d u = \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} d y$ , nên $- d u = \frac{- 1}{2 y^{\frac{1}{2}}} d y$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = y^{\frac{1}{2}}$ . Tìm $\frac{d u}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1}$

Bước 2.1.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Bước 2.1.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Bước 2.1.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Bước 2.1.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}}$

Bước 2.1.6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}}$

Bước 2.1.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}}$

Bước 2.1.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.8.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.1.8.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int 2 e^{u} d u$

Bước 3

Vì $2$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int e^{u} d u$

Bước 4

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$2 (e^{u} + C)$

Bước 5

Rút gọn.

$2 e^{u} + C$

Bước 6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 e^{y^{\frac{1}{2}}} + C$