Giải tích Ví dụ

$\int \frac{1}{9 x^{2} + 16} d x$

Bước 1

Sắp xếp lại $9 x^{2}$ và $16$ .

$\int \frac{1}{16 + 9 x^{2}} d x$

Bước 2

Đưa $9$ ra ngoài $16 + 9 x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đưa $9$ ra ngoài $16$ .

$\int \frac{1}{9 (\frac{16}{9}) + 9 x^{2}} d x$

Bước 2.2

Đưa $9$ ra ngoài $9 x^{2}$ .

$\int \frac{1}{9 (\frac{16}{9}) + 9 (x^{2})} d x$

Bước 2.3

Đưa $9$ ra ngoài $9 (\frac{16}{9}) + 9 (x^{2})$ .

$\int \frac{1}{9 (\frac{16}{9} + x^{2})} d x$

Bước 3

Vì $\frac{1}{9}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{9}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{9} \int \frac{1}{\frac{16}{9} + x^{2}} d x$

Bước 4

Viết lại $\frac{16}{9}$ ở dạng ${(\frac{4}{3})}^{2}$ .

$\frac{1}{9} \int \frac{1}{{(\frac{4}{3})}^{2} + x^{2}} d x$

Bước 5

Tích phân của $\frac{1}{{(\frac{4}{3})}^{2} + x^{2}}$ đối với $x$ là $\frac{1}{\frac{4}{3}} \arctan (\frac{x}{\frac{4}{3}}) + C$ .

$\frac{1}{9} (\frac{1}{\frac{4}{3}} \arctan (\frac{x}{\frac{4}{3}}) + C)$

Bước 6

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{4}{3}$ .

$\frac{1}{9} (1 (\frac{3}{4}) \arctan (\frac{x}{\frac{4}{3}}) + C)$

Bước 6.1.2

Nhân $\frac{3}{4}$ với $1$ .

$\frac{1}{9} (\frac{3}{4} \arctan (\frac{x}{\frac{4}{3}}) + C)$

Bước 6.1.3

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{4}{3}$ .

$\frac{1}{9} (\frac{3}{4} \arctan (x \frac{3}{4}) + C)$

Bước 6.1.4

Kết hợp $x$ và $\frac{3}{4}$ .

$\frac{1}{9} (\frac{3}{4} \arctan (\frac{x \cdot 3}{4}) + C)$

Bước 6.1.5

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{1}{9} (\frac{3}{4} \arctan (\frac{3 \cdot x}{4}) + C)$

Bước 6.1.6

Kết hợp $\frac{3}{4}$ và $\arctan (\frac{3 x}{4})$ .

$\frac{1}{9} (\frac{3 \arctan (\frac{3 x}{4})}{4} + C)$

Bước 6.2

Viết lại $\frac{1}{9} (\frac{3 \arctan (\frac{3 x}{4})}{4} + C)$ ở dạng $\frac{1}{9} \cdot \frac{3}{4} \arctan (\frac{3}{4} x) + C$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{3}{4} \arctan (\frac{3}{4} x) + C$

Bước 6.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Nhân $\frac{1}{9}$ với $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{9 \cdot 4} \arctan (\frac{3}{4} x) + C$

Bước 6.3.2

Nhân $9$ với $4$ .

$\frac{3}{36} \arctan (\frac{3}{4} x) + C$

Bước 6.3.3

Triệt tiêu thừa số chung của $3$ và $36$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{3 (1)}{36} \arctan (\frac{3}{4} x) + C$

Bước 6.3.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.3.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $36$ .

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 12} \arctan (\frac{3}{4} x) + C$

Bước 6.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 12} \arctan (\frac{3}{4} x) + C$

Bước 6.3.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{12} \arctan (\frac{3}{4} x) + C$