Giải tích Ví dụ

$\int t e^{- 3 t} d t$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = t$ và $d v = e^{- 3 t}$ .

$t (- \frac{1}{3} e^{- 3 t}) - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 t} d t$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp $e^{- 3 t}$ và $\frac{1}{3}$ .

$t (- \frac{e^{- 3 t}}{3}) - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 t} d t$

Bước 2.2

Kết hợp $t$ và $\frac{e^{- 3 t}}{3}$ .

$- \frac{t e^{- 3 t}}{3} - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 t} d t$

Bước 3

Vì $- \frac{1}{3}$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $- \frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{t e^{- 3 t}}{3} - (- \frac{1}{3} \int e^{- 3 t} d t)$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- \frac{t e^{- 3 t}}{3} + 1 (\frac{1}{3} \int e^{- 3 t} d t)$

Bước 4.2

Nhân $\frac{1}{3}$ với $1$ .

$- \frac{t e^{- 3 t}}{3} + \frac{1}{3} \int e^{- 3 t} d t$

Bước 5

Giả sử $u = - 3 t$ . Sau đó $d u = - 3 d t$ , nên $- \frac{1}{3} d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u = - 3 t$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $- 3 t$ .

$\frac{d}{d t} [- 3 t]$

Bước 5.1.2

Vì $- 3$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- 3 t$ đối với $t$ là $- 3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 3 \frac{d}{d t} [t]$

Bước 5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Bước 5.1.4

Nhân $- 3$ với $1$ .

$- 3$

Bước 5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$- \frac{t e^{- 3 t}}{3} + \frac{1}{3} \int e^{u} \frac{1}{- 3} d u$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{t e^{- 3 t}}{3} + \frac{1}{3} \int e^{u} (- \frac{1}{3}) d u$

Bước 6.2

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{t e^{- 3 t}}{3} + \frac{1}{3} \int - \frac{e^{u}}{3} d u$

Bước 7

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{t e^{- 3 t}}{3} + \frac{1}{3} (- \int \frac{e^{u}}{3} d u)$

Bước 8

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{t e^{- 3 t}}{3} + \frac{1}{3} (- (\frac{1}{3} \int e^{u} d u))$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{t e^{- 3 t}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u} d u$

Bước 9.2

Nhân $3$ với $3$ .

$- \frac{t e^{- 3 t}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u} d u$

Bước 10

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$- \frac{t e^{- 3 t}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C)$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Viết lại $- \frac{t e^{- 3 t}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C)$ ở dạng $- \frac{1}{3} t e^{- 3 t} - \frac{1}{9} e^{u} + C$ .

$- \frac{1}{3} t e^{- 3 t} - \frac{1}{9} e^{u} + C$

Bước 11.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Kết hợp $t$ và $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{t}{3} e^{- 3 t} - \frac{1}{9} e^{u} + C$

Bước 11.2.2

Kết hợp $e^{- 3 t}$ và $\frac{t}{3}$ .

$- \frac{e^{- 3 t} t}{3} - \frac{1}{9} e^{u} + C$

Bước 12

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- 3 t$ .

$- \frac{e^{- 3 t} t}{3} - \frac{1}{9} e^{- 3 t} + C$

Bước 13

Kết hợp $e^{- 3 t}$ và $\frac{1}{9}$ .

$- \frac{e^{- 3 t} t}{3} - \frac{e^{- 3 t}}{9} + C$

Bước 14

Sắp xếp lại các số hạng.

$- \frac{1}{3} e^{- 3 t} t - \frac{1}{9} e^{- 3 t} + C$