Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{1} (x^{2} + 1) e^{- x} d x$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x^{2} + 1$ và $d v = e^{- x}$ .

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - e^{- x} (2 x) d x$

Bước 2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - 2 e^{- x} x d x$

Bước 3

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} - (- 2 \int_{0}^{1} e^{- x} x d x)$

Bước 4

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 \int_{0}^{1} e^{- x} x d x$

Bước 5

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = e^{- x}$ .

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - e^{- x} d x)$

Bước 6

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - - \int_{0}^{1} e^{- x} d x)$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + 1 \int_{0}^{1} e^{- x} d x)$

Bước 7.2

Nhân $\int_{0}^{1} e^{- x} d x$ với $1$ .

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} e^{- x} d x)$

Bước 8

Giả sử $u = - x$ . Sau đó $d u = - d x$ , nên $- d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Hãy đặt $u = - x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Tính đạo hàm $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Bước 8.1.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Bước 8.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Bước 8.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1$

Bước 8.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

Bước 8.3

Nhân $- 1$ với $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 8.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = - x$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

Bước 8.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Bước 8.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 1$

Bước 8.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + \int_{0}^{- 1} - e^{u} d u)$

Bước 9

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{- 1} e^{u} d u)$

Bước 10

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - (e^{u}]_{0}^{- 1}))$

Bước 11

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính $(x^{2} + 1) (- e^{- x})$ tại $1$ và tại $0$ .

$((1^{2} + 1) (- e^{- 1 \cdot 1})) - (0^{2} + 1) (- e^{- 0}) + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - (e^{u}]_{0}^{- 1}))$

Bước 11.2

Tính $x (- e^{- x})$ tại $1$ và tại $0$ .

$((1^{2} + 1) (- e^{- 1 \cdot 1})) - (0^{2} + 1) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - (e^{u}]_{0}^{- 1}))$

Bước 11.3

Tính $e^{u}$ tại $- 1$ và tại $0$ .

$((1^{2} + 1) (- e^{- 1 \cdot 1})) - (0^{2} + 1) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Bước 11.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.4.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$(1 + 1) (- e^{- 1 \cdot 1}) - (0^{2} + 1) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Bước 11.4.2

Cộng $1$ và $1$ .

$2 (- e^{- 1 \cdot 1}) - (0^{2} + 1) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Bước 11.4.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$2 (- e^{- 1}) - (0^{2} + 1) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Bước 11.4.4

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 2 e^{- 1} - (0^{2} + 1) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Bước 11.4.5

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$- 2 e^{- 1} - (0 + 1) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Bước 11.4.6

Cộng $0$ và $1$ .

$- 2 e^{- 1} - 1 \cdot 1 (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Bước 11.4.7

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 2 e^{- 1} - 1 (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Bước 11.4.8

Nhân $- 1$ với $0$ .

$- 2 e^{- 1} - 1 (- e^{0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Bước 11.4.9

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$- 2 e^{- 1} - 1 (- 1 \cdot 1) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Bước 11.4.10

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 2 e^{- 1} - 1 \cdot - 1 + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Bước 11.4.11

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Bước 11.4.12

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (1 (- e^{- 1}) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Bước 11.4.13

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (- e^{- 1} + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Bước 11.4.14

Nhân $- 1$ với $0$ .

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (- e^{- 1} + 0 (- e^{0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Bước 11.4.15

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (- e^{- 1} + 0 (- 1 \cdot 1) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Bước 11.4.16

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (- e^{- 1} + 0 \cdot - 1 - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Bước 11.4.17

Nhân $0$ với $- 1$ .

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (- e^{- 1} + 0 - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Bước 11.4.18

Cộng $- e^{- 1}$ và $0$ .

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (- e^{- 1} - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Bước 11.4.19

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1 \cdot 1))$

Bước 11.4.20

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1))$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{e} + 1 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1))$

Bước 12.1.2

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{e}$ .

$\frac{- 2}{e} + 1 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1))$

Bước 12.1.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1))$

Bước 12.1.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 (- \frac{1}{e} - (e^{- 1} - 1))$

Bước 12.1.4.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 (- \frac{1}{e} - (\frac{1}{e} - 1))$

Bước 12.1.4.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 (- \frac{1}{e} - \frac{1}{e} - - 1)$

Bước 12.1.4.4

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 (- \frac{1}{e} - \frac{1}{e} + 1)$

Bước 12.1.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 (1 + \frac{- 1 - 1}{e})$

Bước 12.1.6

Trừ $1$ khỏi $- 1$ .

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 (1 + \frac{- 2}{e})$

Bước 12.1.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 (1 - \frac{2}{e})$

Bước 12.1.8

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 \cdot 1 + 2 (- \frac{2}{e})$

Bước 12.1.9

Nhân $2$ với $1$ .

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 + 2 (- \frac{2}{e})$

Bước 12.1.10

Nhân $2 (- \frac{2}{e})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.10.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 - 2 \frac{2}{e}$

Bước 12.1.10.2

Kết hợp $- 2$ và $\frac{2}{e}$ .

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 + \frac{- 2 \cdot 2}{e}$

Bước 12.1.10.3

Nhân $- 2$ với $2$ .

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 + \frac{- 4}{e}$

Bước 12.1.11

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 - \frac{4}{e}$

Bước 12.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$1 + 2 + \frac{- 2 - 4}{e}$

Bước 12.3

Trừ $4$ khỏi $- 2$ .

$1 + 2 + \frac{- 6}{e}$

Bước 12.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$1 + 2 - \frac{6}{e}$

Bước 12.5

Cộng $1$ và $2$ .

$3 - \frac{6}{e}$

Bước 13

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$3 - \frac{6}{e}$

Dạng thập phân:

$0.79272335 \dots$

Bước 14