Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{1} \sqrt[3]{1 + 7 x} d x$

Bước 1

Giả sử $u = 1 + 7 x$ . Sau đó $d u = 7 d x$ , nên $\frac{1}{7} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 1 + 7 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $1 + 7 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 7 x]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + 7 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [7 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [7 x]$

Bước 1.1.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [7 x]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $7 x$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 7 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 + 7 \cdot 1$

Bước 1.1.3.3

Nhân $7$ với $1$ .

$0 + 7$

Bước 1.1.4

Cộng $0$ và $7$ .

$7$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 1 + 7 x$ .

$u_{lower} = 1 + 7 \cdot 0$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nhân $7$ với $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Bước 1.3.2

Cộng $1$ và $0$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 1 + 7 x$ .

$u_{upper} = 1 + 7 \cdot 1$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Nhân $7$ với $1$ .

$u_{upper} = 1 + 7$

Bước 1.5.2

Cộng $1$ và $7$ .

$u_{upper} = 8$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 8$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{1}^{8} \sqrt[3]{u} \frac{1}{7} d u$

Bước 2

Kết hợp $\sqrt[3]{u}$ và $\frac{1}{7}$ .

$\int_{1}^{8} \frac{\sqrt[3]{u}}{7} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{7}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{7}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{7} \int_{1}^{8} \sqrt[3]{u} d u$

Bước 4

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{7} \int_{1}^{8} u^{\frac{1}{3}} d u$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{3}}$ đối với $u$ là $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{1}{7} \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{1}^{8}$

Bước 6

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ tại $8$ và tại $1$ .

$\frac{1}{7} ((\frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Viết lại $8$ ở dạng $2^{3}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{3}{4} \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Bước 6.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Bước 6.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{7} (\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Bước 6.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{7} (\frac{3}{4} \cdot 2^{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Bước 6.2.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $4$ .

$\frac{1}{7} (\frac{3}{4} \cdot 16 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Bước 6.2.5

Kết hợp $\frac{3}{4}$ và $16$ .

$\frac{1}{7} (\frac{3 \cdot 16}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Bước 6.2.6

Nhân $3$ với $16$ .

$\frac{1}{7} (\frac{48}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Bước 6.2.7

Triệt tiêu thừa số chung của $48$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.7.1

Đưa $4$ ra ngoài $48$ .

$\frac{1}{7} (\frac{4 \cdot 12}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Bước 6.2.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.7.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\frac{1}{7} (\frac{4 \cdot 12}{4 (1)} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Bước 6.2.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{7} (\frac{4 \cdot 12}{4 \cdot 1} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Bước 6.2.7.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{7} (\frac{12}{1} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Bước 6.2.7.2.4

Chia $12$ cho $1$ .

$\frac{1}{7} (12 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Bước 6.2.8

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{7} (12 - \frac{3}{4} \cdot 1)$

Bước 6.2.9

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{7} (12 - \frac{3}{4})$

Bước 6.2.10

Để viết $12$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{7} (12 \cdot \frac{4}{4} - \frac{3}{4})$

Bước 6.2.11

Kết hợp $12$ và $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{12 \cdot 4}{4} - \frac{3}{4})$

Bước 6.2.12

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{7} \cdot \frac{12 \cdot 4 - 3}{4}$

Bước 6.2.13

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.13.1

Nhân $12$ với $4$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{48 - 3}{4}$

Bước 6.2.13.2

Trừ $3$ khỏi $48$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{45}{4}$

Bước 6.2.14

Nhân $\frac{1}{7}$ với $\frac{45}{4}$ .

$\frac{45}{7 \cdot 4}$

Bước 6.2.15

Nhân $7$ với $4$ .

$\frac{45}{28}$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{45}{28}$

Dạng thập phân:

$1.60714285 \dots$

Dạng hỗn số:

$1 \frac{17}{28}$

Bước 8