Giải tích Ví dụ

$f (x) = x^{3} - x - 1$ ; between $1$ and $2$

Bước 1

Tìm các điểm tới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{3} - x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 1.1.1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 1.1.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.2.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 1.1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 x^{2} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 1.1.1.2.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$3 x^{2} - 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 1.1.1.3

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.1

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$3 x^{2} - 1 + 0$

Bước 1.1.1.3.2

Cộng $3 x^{2} - 1$ và $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 1$

Bước 1.1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $3 x^{2} - 1$ .

$3 x^{2} - 1$

Bước 1.2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $3 x^{2} - 1 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$3 x^{2} - 1 = 0$

Bước 1.2.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$3 x^{2} = 1$

Bước 1.2.3

Chia mỗi số hạng trong $3 x^{2} = 1$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Chia mỗi số hạng trong $3 x^{2} = 1$ cho $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{1}{3}$

Bước 1.2.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{1}{3}$

Bước 1.2.3.2.1.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{3}$

Bước 1.2.4

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Bước 1.2.5

Rút gọn $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1

Viết lại $\sqrt{\frac{1}{3}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Bước 1.2.5.2

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Bước 1.2.5.3

Nhân $\frac{1}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Bước 1.2.5.4

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.4.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Bước 1.2.5.4.2

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Bước 1.2.5.4.3

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Bước 1.2.5.4.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Bước 1.2.5.4.5

Cộng $1$ và $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Bước 1.2.5.4.6

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.4.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 1.2.5.4.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 1.2.5.4.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 1.2.5.4.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.4.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 1.2.5.4.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Bước 1.2.5.4.6.5

Tính số mũ.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Bước 1.2.6

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Bước 1.2.6.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Bước 1.2.6.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Bước 1.3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Bước 1.4

Tính $x^{3} - x - 1$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Tính giá trị tại $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.1

Thay $\frac{\sqrt{3}}{3}$ bằng $x$ .

${(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{3} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Bước 1.4.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Bước 1.4.1.2.1.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.1.2.1

Viết lại ${\sqrt{3}}^{3}$ ở dạng $\sqrt{3^{3}}$ .

$\frac{\sqrt{3^{3}}}{3^{3}} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Bước 1.4.1.2.1.2.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{\sqrt{27}}{3^{3}} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Bước 1.4.1.2.1.2.3

Viết lại $27$ ở dạng $3^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.1.2.3.1

Đưa $9$ ra ngoài $27$ .

$\frac{\sqrt{9 (3)}}{3^{3}} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Bước 1.4.1.2.1.2.3.2

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3^{3}} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Bước 1.4.1.2.1.2.4

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\frac{3 \sqrt{3}}{3^{3}} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Bước 1.4.1.2.1.3

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{27} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Bước 1.4.1.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung của $3$ và $27$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.1.4.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{3 (\sqrt{3})}{27} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Bước 1.4.1.2.1.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.1.4.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $27$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 9} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Bước 1.4.1.2.1.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 9} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Bước 1.4.1.2.1.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sqrt{3}}{9} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

$\frac{\sqrt{3}}{9} - \frac{\sqrt{3}}{3} - 1$

Bước 1.4.1.2.2

Để viết $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{9} - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3} - 1$

Bước 1.4.1.2.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $9$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.3.1

Nhân $\frac{\sqrt{3}}{3}$ với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{9} - \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3} - 1$

Bước 1.4.1.2.3.2

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{\sqrt{3}}{9} - \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{9} - 1$

Bước 1.4.1.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 3}{9} - 1$

Bước 1.4.1.2.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.5.1.1

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{\sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{9} - 1$

Bước 1.4.1.2.5.1.2

Trừ $3 \sqrt{3}$ khỏi $\sqrt{3}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3}}{9} - 1$

Bước 1.4.1.2.5.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{9} - 1$

Bước 1.4.2

Tính giá trị tại $x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Thay $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ bằng $x$ .

${(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{3} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Bước 1.4.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.2.1.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

${(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{3} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Bước 1.4.2.2.1.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

${(- 1)}^{3} \frac{{\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Bước 1.4.2.2.1.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$- \frac{{\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Bước 1.4.2.2.1.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.2.1.3.1

Viết lại ${\sqrt{3}}^{3}$ ở dạng $\sqrt{3^{3}}$ .

$- \frac{\sqrt{3^{3}}}{3^{3}} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Bước 1.4.2.2.1.3.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$- \frac{\sqrt{27}}{3^{3}} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Bước 1.4.2.2.1.3.3

Viết lại $27$ ở dạng $3^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.2.1.3.3.1

Đưa $9$ ra ngoài $27$ .

$- \frac{\sqrt{9 (3)}}{3^{3}} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Bước 1.4.2.2.1.3.3.2

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3^{3}} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Bước 1.4.2.2.1.3.4

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{3^{3}} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Bước 1.4.2.2.1.4

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$- \frac{3 \sqrt{3}}{27} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Bước 1.4.2.2.1.5

Triệt tiêu thừa số chung của $3$ và $27$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.2.1.5.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 \sqrt{3}$ .

$- \frac{3 (\sqrt{3})}{27} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Bước 1.4.2.2.1.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.2.1.5.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $27$ .

$- \frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 9} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Bước 1.4.2.2.1.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 9} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Bước 1.4.2.2.1.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{\sqrt{3}}{9} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Bước 1.4.2.2.1.6

Nhân $- (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.2.1.6.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{9} + 1 \frac{\sqrt{3}}{3} - 1$

Bước 1.4.2.2.1.6.2

Nhân $\frac{\sqrt{3}}{3}$ với $1$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{9} + \frac{\sqrt{3}}{3} - 1$

Bước 1.4.2.2.2

Để viết $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{9} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3} - 1$

Bước 1.4.2.2.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $9$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.2.3.1

Nhân $\frac{\sqrt{3}}{3}$ với $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{9} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3} - 1$

Bước 1.4.2.2.3.2

Nhân $3$ với $3$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{9} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{9} - 1$

Bước 1.4.2.2.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.2.4.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3}{9} - 1$

Bước 1.4.2.2.4.2

Sắp xếp lại các thừa số của $\sqrt{3} \cdot 3$ .

$\frac{- \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}}{9} - 1$

Bước 1.4.2.2.5

Cộng $- \sqrt{3}$ và $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{9} - 1$

Bước 1.4.3

Liệt kê tất cả các điểm.

$(\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{9} - 1), (- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{9} - 1)$

Bước 2

Bỏ các điểm không nằm trong khoảng đang xét ra.

Bước 3

Tính giá trị tại các điểm đầu mút.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính giá trị tại $x = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Thay $1$ bằng $x$ .

${(1)}^{3} - (1) - 1$

Bước 3.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$1 - (1) - 1$

Bước 3.1.2.1.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$1 - 1 - 1$

Bước 3.1.2.2

Rút gọn bằng cách trừ các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.2.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$0 - 1$

Bước 3.1.2.2.2

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$- 1$

Bước 3.2

Tính giá trị tại $x = 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Thay $2$ bằng $x$ .

${(2)}^{3} - (2) - 1$

Bước 3.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$8 - (2) - 1$

Bước 3.2.2.1.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$8 - 2 - 1$

Bước 3.2.2.2

Rút gọn bằng cách trừ các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.2.1

Trừ $2$ khỏi $8$ .

$6 - 1$

Bước 3.2.2.2.2

Trừ $1$ khỏi $6$ .

$5$

Bước 3.3

Liệt kê tất cả các điểm.

$(1, - 1), (2, 5)$

Bước 4

So sánh các giá trị $f (x)$ tìm được với mỗi giá trị của $x$ để xác định cực đại tuyệt đối và cực tiểu tuyệt đối trên khoảng đã cho. Cực đại sẽ xảy ra tại giá trị $f (x)$ cao nhất và cực tiểu sẽ xảy ra tại giá trị $f (x)$ thấp nhất.

Cực đại tuyệt đối: $(2, 5)$

Cực tiểu tuyệt đối: $(1, - 1)$

Bước 5