Giải tích Ví dụ

Tìm Điểm Cực Đại Toàn Cục và Cực Tiểu Toàn Cục trong Khoảng f(x)=-x^3+8x^2-15x
Bước 1
Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.1
Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của đối với .
Bước 1.2
Tính .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.2.1
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 1.2.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 1.2.3
Nhân với .
Bước 1.3
Tính .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.3.1
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 1.3.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 1.3.3
Nhân với .
Bước 1.4
Tính .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.4.1
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 1.4.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 1.4.3
Nhân với .
Bước 2
Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.1
Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của đối với .
Bước 2.2
Tính .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.2.1
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 2.2.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 2.2.3
Nhân với .
Bước 2.3
Tính .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.3.1
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 2.3.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 2.3.3
Nhân với .
Bước 2.4
Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.4.1
là hằng số đối với , đạo hàm của đối với .
Bước 2.4.2
Cộng .
Bước 3
Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng và giải.
Bước 4
Tìm đạo hàm bậc một.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.1
Tìm đạo hàm bậc một.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.1.1
Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của đối với .
Bước 4.1.2
Tính .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.1.2.1
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 4.1.2.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 4.1.2.3
Nhân với .
Bước 4.1.3
Tính .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.1.3.1
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 4.1.3.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 4.1.3.3
Nhân với .
Bước 4.1.4
Tính .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.1.4.1
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 4.1.4.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 4.1.4.3
Nhân với .
Bước 4.2
Đạo hàm bậc nhất của đối với .
Bước 5
Cho đạo hàm bằng rồi giải phương trình .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.1
Cho đạo hàm bằng .
Bước 5.2
Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.
Bước 5.3
Thay các giá trị , , và vào công thức bậc hai và giải tìm .
Bước 5.4
Rút gọn.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.4.1
Rút gọn tử số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.4.1.1
Nâng lên lũy thừa .
Bước 5.4.1.2
Nhân .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.4.1.2.1
Nhân với .
Bước 5.4.1.2.2
Nhân với .
Bước 5.4.1.3
Trừ khỏi .
Bước 5.4.1.4
Viết lại ở dạng .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.4.1.4.1
Đưa ra ngoài .
Bước 5.4.1.4.2
Viết lại ở dạng .
Bước 5.4.1.5
Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.
Bước 5.4.2
Nhân với .
Bước 5.4.3
Rút gọn .
Bước 5.5
Rút gọn biểu thức để giải tìm phần của .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.5.1
Rút gọn tử số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.5.1.1
Nâng lên lũy thừa .
Bước 5.5.1.2
Nhân .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.5.1.2.1
Nhân với .
Bước 5.5.1.2.2
Nhân với .
Bước 5.5.1.3
Trừ khỏi .
Bước 5.5.1.4
Viết lại ở dạng .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.5.1.4.1
Đưa ra ngoài .
Bước 5.5.1.4.2
Viết lại ở dạng .
Bước 5.5.1.5
Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.
Bước 5.5.2
Nhân với .
Bước 5.5.3
Rút gọn .
Bước 5.5.4
Chuyển đổi thành .
Bước 5.6
Rút gọn biểu thức để giải tìm phần của .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.6.1
Rút gọn tử số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.6.1.1
Nâng lên lũy thừa .
Bước 5.6.1.2
Nhân .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.6.1.2.1
Nhân với .
Bước 5.6.1.2.2
Nhân với .
Bước 5.6.1.3
Trừ khỏi .
Bước 5.6.1.4
Viết lại ở dạng .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.6.1.4.1
Đưa ra ngoài .
Bước 5.6.1.4.2
Viết lại ở dạng .
Bước 5.6.1.5
Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.
Bước 5.6.2
Nhân với .
Bước 5.6.3
Rút gọn .
Bước 5.6.4
Chuyển đổi thành .
Bước 5.7
Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.
Bước 6
Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.1
Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.
Bước 7
Các điểm cực trị cần tính.
Bước 8
Tính đạo hàm bậc hai tại . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.
Bước 9
Tính đạo hàm bậc hai.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 9.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 9.1.1
Triệt tiêu thừa số chung .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 9.1.1.1
Đưa ra ngoài .
Bước 9.1.1.2
Triệt tiêu thừa số chung.
Bước 9.1.1.3
Viết lại biểu thức.
Bước 9.1.2
Áp dụng thuộc tính phân phối.
Bước 9.1.3
Nhân với .
Bước 9.2
Rút gọn bằng cách cộng các số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 9.2.1
Cộng .
Bước 9.2.2
Trừ khỏi .
Bước 10
là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.
là cực đại địa phương
Bước 11
Tìm giá trị y khi .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 11.1
Thay thế biến bằng trong biểu thức.
Bước 11.2
Rút gọn kết quả.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 11.2.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 11.2.1.1
Áp dụng quy tắc tích số cho .
Bước 11.2.1.2
Nâng lên lũy thừa .
Bước 11.2.1.3
Sử dụng định lý nhị thức.
Bước 11.2.1.4
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 11.2.1.4.1
Nâng lên lũy thừa .
Bước 11.2.1.4.2
Nâng lên lũy thừa .
Bước 11.2.1.4.3
Nhân với .
Bước 11.2.1.4.4
Nhân với .
Bước 11.2.1.4.5
Viết lại ở dạng .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 11.2.1.4.5.1
Sử dụng để viết lại ở dạng .
Bước 11.2.1.4.5.2
Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, .
Bước 11.2.1.4.5.3
Kết hợp .
Bước 11.2.1.4.5.4
Triệt tiêu thừa số chung .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 11.2.1.4.5.4.1
Triệt tiêu thừa số chung.
Bước 11.2.1.4.5.4.2
Viết lại biểu thức.
Bước 11.2.1.4.5.5
Tính số mũ.
Bước 11.2.1.4.6
Nhân với .
Bước 11.2.1.4.7
Viết lại ở dạng .
Bước 11.2.1.4.8
Nâng lên lũy thừa .
Bước 11.2.1.4.9
Viết lại ở dạng .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 11.2.1.4.9.1
Đưa ra ngoài .
Bước 11.2.1.4.9.2
Viết lại ở dạng .
Bước 11.2.1.4.10
Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.
Bước 11.2.1.5
Cộng .
Bước 11.2.1.6
Cộng .
Bước 11.2.1.7
Áp dụng quy tắc tích số cho .
Bước 11.2.1.8
Nâng lên lũy thừa .
Bước 11.2.1.9
Viết lại ở dạng .
Bước 11.2.1.10
Khai triển bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 11.2.1.10.1
Áp dụng thuộc tính phân phối.
Bước 11.2.1.10.2
Áp dụng thuộc tính phân phối.
Bước 11.2.1.10.3
Áp dụng thuộc tính phân phối.
Bước 11.2.1.11
Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 11.2.1.11.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 11.2.1.11.1.1
Nhân với .
Bước 11.2.1.11.1.2
Di chuyển sang phía bên trái của .
Bước 11.2.1.11.1.3
Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.
Bước 11.2.1.11.1.4
Nhân với .
Bước 11.2.1.11.1.5
Viết lại ở dạng .
Bước 11.2.1.11.1.6
Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.
Bước 11.2.1.11.2
Cộng .
Bước 11.2.1.11.3
Cộng .
Bước 11.2.1.12
Kết hợp .
Bước 11.2.1.13
Triệt tiêu thừa số chung .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 11.2.1.13.1
Đưa ra ngoài .
Bước 11.2.1.13.2
Triệt tiêu thừa số chung.
Bước 11.2.1.13.3
Viết lại biểu thức.
Bước 11.2.1.14
Áp dụng thuộc tính phân phối.
Bước 11.2.1.15
Nhân với .
Bước 11.2.2
Để viết ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với .
Bước 11.2.3
Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 11.2.3.1
Nhân với .
Bước 11.2.3.2
Nhân với .
Bước 11.2.4
Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.
Bước 11.2.5
Rút gọn tử số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 11.2.5.1
Áp dụng thuộc tính phân phối.
Bước 11.2.5.2
Nhân với .
Bước 11.2.5.3
Nhân với .
Bước 11.2.5.4
Áp dụng thuộc tính phân phối.
Bước 11.2.5.5
Nhân với .
Bước 11.2.5.6
Nhân với .
Bước 11.2.5.7
Áp dụng thuộc tính phân phối.
Bước 11.2.5.8
Nhân với .
Bước 11.2.5.9
Nhân với .
Bước 11.2.5.10
Cộng .
Bước 11.2.5.11
Cộng .
Bước 11.2.6
Để viết ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với .
Bước 11.2.7
Kết hợp .
Bước 11.2.8
Rút gọn biểu thức.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 11.2.8.1
Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.
Bước 11.2.8.2
Nhân với .
Bước 11.2.8.3
Trừ khỏi .
Bước 11.2.9
Để viết ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với .
Bước 11.2.10
Kết hợp các phân số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 11.2.10.1
Kết hợp .
Bước 11.2.10.2
Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.
Bước 11.2.11
Rút gọn tử số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 11.2.11.1
Nhân với .
Bước 11.2.11.2
Trừ khỏi .
Bước 11.2.12
Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 11.2.12.1
Viết lại ở dạng .
Bước 11.2.12.2
Đưa ra ngoài .
Bước 11.2.12.3
Đưa ra ngoài .
Bước 11.2.12.4
Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.
Bước 11.2.13
Câu trả lời cuối cùng là .
Bước 12
Tính đạo hàm bậc hai tại . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.
Bước 13
Tính đạo hàm bậc hai.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 13.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 13.1.1
Triệt tiêu thừa số chung .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 13.1.1.1
Đưa ra ngoài .
Bước 13.1.1.2
Triệt tiêu thừa số chung.
Bước 13.1.1.3
Viết lại biểu thức.
Bước 13.1.2
Áp dụng thuộc tính phân phối.
Bước 13.1.3
Nhân với .
Bước 13.1.4
Nhân với .
Bước 13.2
Rút gọn bằng cách cộng các số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 13.2.1
Cộng .
Bước 13.2.2
Cộng .
Bước 14
là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.
là cực tiểu địa phương
Bước 15
Tìm giá trị y khi .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 15.1
Thay thế biến bằng trong biểu thức.
Bước 15.2
Rút gọn kết quả.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 15.2.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 15.2.1.1
Áp dụng quy tắc tích số cho .
Bước 15.2.1.2
Nâng lên lũy thừa .
Bước 15.2.1.3
Sử dụng định lý nhị thức.
Bước 15.2.1.4
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 15.2.1.4.1
Nâng lên lũy thừa .
Bước 15.2.1.4.2
Nâng lên lũy thừa .
Bước 15.2.1.4.3
Nhân với .
Bước 15.2.1.4.4
Nhân với .
Bước 15.2.1.4.5
Nhân với .
Bước 15.2.1.4.6
Áp dụng quy tắc tích số cho .
Bước 15.2.1.4.7
Nâng lên lũy thừa .
Bước 15.2.1.4.8
Nhân với .
Bước 15.2.1.4.9
Viết lại ở dạng .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 15.2.1.4.9.1
Sử dụng để viết lại ở dạng .
Bước 15.2.1.4.9.2
Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, .
Bước 15.2.1.4.9.3
Kết hợp .
Bước 15.2.1.4.9.4
Triệt tiêu thừa số chung .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 15.2.1.4.9.4.1
Triệt tiêu thừa số chung.
Bước 15.2.1.4.9.4.2
Viết lại biểu thức.
Bước 15.2.1.4.9.5
Tính số mũ.
Bước 15.2.1.4.10
Nhân với .
Bước 15.2.1.4.11
Áp dụng quy tắc tích số cho .
Bước 15.2.1.4.12
Nâng lên lũy thừa .
Bước 15.2.1.4.13
Viết lại ở dạng .
Bước 15.2.1.4.14
Nâng lên lũy thừa .
Bước 15.2.1.4.15
Viết lại ở dạng .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 15.2.1.4.15.1
Đưa ra ngoài .
Bước 15.2.1.4.15.2
Viết lại ở dạng .
Bước 15.2.1.4.16
Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.
Bước 15.2.1.4.17
Nhân với .
Bước 15.2.1.5
Cộng .
Bước 15.2.1.6
Trừ khỏi .
Bước 15.2.1.7
Áp dụng quy tắc tích số cho .
Bước 15.2.1.8
Nâng lên lũy thừa .
Bước 15.2.1.9
Viết lại ở dạng .
Bước 15.2.1.10
Khai triển bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 15.2.1.10.1
Áp dụng thuộc tính phân phối.
Bước 15.2.1.10.2
Áp dụng thuộc tính phân phối.
Bước 15.2.1.10.3
Áp dụng thuộc tính phân phối.
Bước 15.2.1.11
Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 15.2.1.11.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 15.2.1.11.1.1
Nhân với .
Bước 15.2.1.11.1.2
Nhân với .
Bước 15.2.1.11.1.3
Nhân với .
Bước 15.2.1.11.1.4
Nhân .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 15.2.1.11.1.4.1
Nhân với .
Bước 15.2.1.11.1.4.2
Nhân với .
Bước 15.2.1.11.1.4.3
Nâng lên lũy thừa .
Bước 15.2.1.11.1.4.4
Nâng lên lũy thừa .
Bước 15.2.1.11.1.4.5
Sử dụng quy tắc lũy thừa để kết hợp các số mũ.
Bước 15.2.1.11.1.4.6
Cộng .
Bước 15.2.1.11.1.5
Viết lại ở dạng .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 15.2.1.11.1.5.1
Sử dụng để viết lại ở dạng .
Bước 15.2.1.11.1.5.2
Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, .
Bước 15.2.1.11.1.5.3
Kết hợp .
Bước 15.2.1.11.1.5.4
Triệt tiêu thừa số chung .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 15.2.1.11.1.5.4.1
Triệt tiêu thừa số chung.
Bước 15.2.1.11.1.5.4.2
Viết lại biểu thức.
Bước 15.2.1.11.1.5.5
Tính số mũ.
Bước 15.2.1.11.2
Cộng .
Bước 15.2.1.11.3
Trừ khỏi .
Bước 15.2.1.12
Kết hợp .
Bước 15.2.1.13
Triệt tiêu thừa số chung .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 15.2.1.13.1
Đưa ra ngoài .
Bước 15.2.1.13.2
Triệt tiêu thừa số chung.
Bước 15.2.1.13.3
Viết lại biểu thức.
Bước 15.2.1.14
Áp dụng thuộc tính phân phối.
Bước 15.2.1.15
Nhân với .
Bước 15.2.1.16
Nhân với .
Bước 15.2.2
Để viết ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với .
Bước 15.2.3
Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 15.2.3.1
Nhân với .
Bước 15.2.3.2
Nhân với .
Bước 15.2.4
Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.
Bước 15.2.5
Rút gọn tử số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 15.2.5.1
Áp dụng thuộc tính phân phối.
Bước 15.2.5.2
Nhân với .
Bước 15.2.5.3
Nhân với .
Bước 15.2.5.4
Áp dụng thuộc tính phân phối.
Bước 15.2.5.5
Nhân với .
Bước 15.2.5.6
Nhân với .
Bước 15.2.5.7
Áp dụng thuộc tính phân phối.
Bước 15.2.5.8
Nhân với .
Bước 15.2.5.9
Nhân với .
Bước 15.2.5.10
Cộng .
Bước 15.2.5.11
Trừ khỏi .
Bước 15.2.6
Để viết ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với .
Bước 15.2.7
Kết hợp .
Bước 15.2.8
Rút gọn biểu thức.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 15.2.8.1
Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.
Bước 15.2.8.2
Nhân với .
Bước 15.2.8.3
Trừ khỏi .
Bước 15.2.9
Để viết ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với .
Bước 15.2.10
Kết hợp các phân số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 15.2.10.1
Kết hợp .
Bước 15.2.10.2
Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.
Bước 15.2.11
Rút gọn tử số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 15.2.11.1
Nhân với .
Bước 15.2.11.2
Cộng .
Bước 15.2.12
Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 15.2.12.1
Viết lại ở dạng .
Bước 15.2.12.2
Đưa ra ngoài .
Bước 15.2.12.3
Đưa ra ngoài .
Bước 15.2.12.4
Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.
Bước 15.2.13
Câu trả lời cuối cùng là .
Bước 16
Đây là những cực trị địa phương cho .
là một cực đại địa phuơng
là một cực tiểu địa phương
Bước 17