Giải tích Ví dụ

$f (x) = - \frac{1}{x}$ , $- 2 \leq x \leq - 1$

Bước 1

Tìm các điểm tới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = - 1$ và $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 1.1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.2.1

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 1.1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 1.1.1.2.3

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.2.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 1.1.1.2.3.2

Nhân $x^{- 2}$ với $1$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 1.1.1.2.4

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Bước 1.1.1.2.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.2.5.1

Nhân $\frac{1}{x}$ với $0$ .

$x^{- 2} + 0$

Bước 1.1.1.2.5.2

Cộng $x^{- 2}$ và $0$ .

$x^{- 2}$

Bước 1.1.1.3

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2}}$

Bước 1.1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Bước 1.2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $\frac{1}{x^{2}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} = 0$

Bước 1.2.2

Cho tử bằng không.

$1 = 0$

Bước 1.2.3

Vì $1 \neq 0$ , nên không có đáp án.

Không có đáp án

Bước 1.3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Đặt mẫu số trong $\frac{1}{x^{2}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x^{2} = 0$

Bước 1.3.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{0}$

Bước 1.3.2.2

Rút gọn $\pm \sqrt{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.2.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Bước 1.3.2.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 0$

Bước 1.3.2.2.3

Cộng hoặc trừ $0$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 1.4

Tính $- \frac{1}{x}$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Tính giá trị tại $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.1

Thay $0$ bằng $x$ .

$- \frac{1}{0}$

Bước 1.4.1.2

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

Bước 1.5

Không có giá trị nào của $x$ trong tập xác định của bài toán ban đầu có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Không tìm được điểm cực trị nào

Bước 2

Tính giá trị tại các điểm đầu mút.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính giá trị tại $x = - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Thay $- 2$ bằng $x$ .

$- \frac{1}{- 2}$

Bước 2.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- - \frac{1}{2}$

Bước 2.1.2.2

Nhân $- - \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2})$

Bước 2.1.2.2.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$\frac{1}{2}$

Bước 2.2

Tính giá trị tại $x = - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Thay $- 1$ bằng $x$ .

$- \frac{1}{- 1}$

Bước 2.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Chia $1$ cho $- 1$ .

$- - 1$

Bước 2.2.2.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1$

Bước 2.3

Liệt kê tất cả các điểm.

$(- 2, \frac{1}{2}), (- 1, 1)$

Bước 3

So sánh các giá trị $f (x)$ tìm được với mỗi giá trị của $x$ để xác định cực đại tuyệt đối và cực tiểu tuyệt đối trên khoảng đã cho. Cực đại sẽ xảy ra tại giá trị $f (x)$ cao nhất và cực tiểu sẽ xảy ra tại giá trị $f (x)$ thấp nhất.

Cực đại tuyệt đối: $(- 1, 1)$

Cực tiểu tuyệt đối: $(- 2, \frac{1}{2})$

Bước 4