Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{x + 1}{x^{2} + 3}$ , $- 1 \leq x \leq 2$

Bước 1

Tìm các điểm tới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x + 1$ và $g (x) = x^{2} + 3$ .

$\frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 1.1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 1.1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 3) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 1.1.1.2.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(x^{2} + 3) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 1.1.1.2.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.2.4.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{(x^{2} + 3) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 1.1.1.2.4.2

Nhân $x^{2} + 3$ với $1$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 1.1.1.2.5

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 1.1.1.2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 1.1.1.2.7

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 1.1.1.2.8

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.2.8.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x + 1) (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 1.1.1.2.8.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 (x + 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 1.1.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x^{2} + 3 + (- 2 x - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 1.1.1.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x \cdot x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 1.1.1.3.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.3.1.1

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.3.1.1.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 1.1.1.3.3.1.1.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x^{2} - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 1.1.1.3.3.1.2

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 1.1.1.3.3.2

Trừ $2 x^{2}$ khỏi $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 3 - 2 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 1.1.1.3.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- x^{2} - 2 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 1.1.1.3.5

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.5.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ và có tổng là $b = - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.5.1.1

Đưa $- 2$ ra ngoài $- 2 x$ .

$\frac{- x^{2} - 2 (x) + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 1.1.1.3.5.1.2

Viết lại $- 2$ ở dạng $1$ cộng $- 3$

$\frac{- x^{2} + (1 - 3) x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 1.1.1.3.5.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- x^{2} + 1 x - 3 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 1.1.1.3.5.1.4

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{- x^{2} + x - 3 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 1.1.1.3.5.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.5.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$\frac{(- x^{2} + x) - 3 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 1.1.1.3.5.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$\frac{x (- x + 1) + 3 (- x + 1)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 1.1.1.3.5.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $- x + 1$ .

$\frac{(- x + 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 1.1.1.3.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x$ .

$\frac{(- (x) + 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 1.1.1.3.7

Viết lại $1$ ở dạng $- 1 (- 1)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (- 1)) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 1.1.1.3.8

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 1.1.1.3.9

Viết lại $- (x - 1)$ ở dạng $- 1 (x - 1)$ .

$\frac{- 1 (x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 1.1.1.3.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (x) = - \frac{(x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 1.1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $- \frac{(x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ .

$- \frac{(x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 1.2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $- \frac{(x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$- \frac{(x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$

Bước 1.2.2

Cho tử bằng không.

$(x - 1) (x + 3) = 0$

Bước 1.2.3

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Bước 1.2.3.2

Đặt $x - 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1

Đặt $x - 1$ bằng với $0$ .

$x - 1 = 0$

Bước 1.2.3.2.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 1$

Bước 1.2.3.3

Đặt $x + 3$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.3.1

Đặt $x + 3$ bằng với $0$ .

$x + 3 = 0$

Bước 1.2.3.3.2

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 3$

Bước 1.2.3.4

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(x - 1) (x + 3) = 0$ đúng.

$x = 1, - 3$

Bước 1.3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Bước 1.4

Tính $\frac{x + 1}{x^{2} + 3}$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Tính giá trị tại $x = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.1

Thay $1$ bằng $x$ .

$\frac{(1) + 1}{{(1)}^{2} + 3}$

Bước 1.4.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.1

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{2}{1^{2} + 3}$

Bước 1.4.1.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{2}{1 + 3}$

Bước 1.4.1.2.2.2

Cộng $1$ và $3$ .

$\frac{2}{4}$

Bước 1.4.1.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (1)}{4}$

Bước 1.4.1.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Bước 1.4.1.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Bước 1.4.1.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2}$

Bước 1.4.2

Tính giá trị tại $x = - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Thay $- 3$ bằng $x$ .

$\frac{(- 3) + 1}{{(- 3)}^{2} + 3}$

Bước 1.4.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.2.1

Cộng $- 3$ và $1$ .

$\frac{- 2}{{(- 3)}^{2} + 3}$

Bước 1.4.2.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.2.2.1

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{- 2}{9 + 3}$

Bước 1.4.2.2.2.2

Cộng $9$ và $3$ .

$\frac{- 2}{12}$

Bước 1.4.2.2.3

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.2.3.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{12}$

Bước 1.4.2.2.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.2.3.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $12$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 6}$

Bước 1.4.2.2.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 6}$

Bước 1.4.2.2.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 1}{6}$

Bước 1.4.2.2.3.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{6}$

Bước 1.4.3

Liệt kê tất cả các điểm.

$(1, \frac{1}{2}), (- 3, - \frac{1}{6})$

Bước 2

Bỏ các điểm không nằm trong khoảng đang xét ra.

$(1, \frac{1}{2})$

Bước 3

Tính giá trị tại các điểm đầu mút.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính giá trị tại $x = - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Thay $- 1$ bằng $x$ .

$\frac{(- 1) + 1}{{(- 1)}^{2} + 3}$

Bước 3.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Cộng $- 1$ và $1$ .

$\frac{0}{{(- 1)}^{2} + 3}$

Bước 3.1.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.2.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{0}{1 + 3}$

Bước 3.1.2.2.2

Cộng $1$ và $3$ .

$\frac{0}{4}$

Bước 3.1.2.3

Chia $0$ cho $4$ .

$0$

Bước 3.2

Tính giá trị tại $x = 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Thay $2$ bằng $x$ .

$\frac{(2) + 1}{{(2)}^{2} + 3}$

Bước 3.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{3}{2^{2} + 3}$

Bước 3.2.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.2.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{3}{4 + 3}$

Bước 3.2.2.2.2

Cộng $4$ và $3$ .

$\frac{3}{7}$

Bước 3.3

Liệt kê tất cả các điểm.

$(- 1, 0), (2, \frac{3}{7})$

Bước 4

So sánh các giá trị $f (x)$ tìm được với mỗi giá trị của $x$ để xác định cực đại tuyệt đối và cực tiểu tuyệt đối trên khoảng đã cho. Cực đại sẽ xảy ra tại giá trị $f (x)$ cao nhất và cực tiểu sẽ xảy ra tại giá trị $f (x)$ thấp nhất.

Cực đại tuyệt đối: $(1, \frac{1}{2})$

Cực tiểu tuyệt đối: $(- 1, 0)$

Bước 5