Giải tích Ví dụ

$f (θ) = 2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ , $0 \leq θ \leq 2 π$

Bước 1

Tìm các điểm tới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ đối với $θ$ là $\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$ .

$\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Bước 1.1.1.2

Tính $\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $θ$ , nên đạo hàm của $2 \cos (θ)$ đối với $θ$ là $2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ .

$2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Bước 1.1.1.2.2

Đạo hàm của $\cos (θ)$ đối với $θ$ là $- \sin (θ)$ .

$2 (- \sin (θ)) + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Bước 1.1.1.2.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 2 \sin (θ) + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Bước 1.1.1.3

Tính $\frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ là $f' (g (θ)) g' (θ)$ trong đó $f (θ) = θ^{2}$ và $g (θ) = \cos (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\cos (θ)$ .

$- 2 \sin (θ) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Bước 1.1.1.3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- 2 \sin (θ) + 2 u \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Bước 1.1.1.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\cos (θ)$ .

$- 2 \sin (θ) + 2 \cos (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Bước 1.1.1.3.2

Đạo hàm của $\cos (θ)$ đối với $θ$ là $- \sin (θ)$ .

$- 2 \sin (θ) + 2 \cos (θ) (- \sin (θ))$

Bước 1.1.1.3.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 2 \sin (θ) - 2 \cos (θ) \sin (θ)$

Bước 1.1.1.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (θ) = - 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$

Bước 1.1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (θ)$ đối với $θ$ là $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$ .

$- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$

Bước 1.2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ) = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ) = 0$

Bước 1.2.2

Đưa $2 \sin (θ)$ ra ngoài $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Đưa $2 \sin (θ)$ ra ngoài $- 2 \cos (θ) \sin (θ)$ .

$2 \sin (θ) (- \cos (θ)) - 2 \sin (θ) = 0$

Bước 1.2.2.2

Đưa $2 \sin (θ)$ ra ngoài $- 2 \sin (θ)$ .

$2 \sin (θ) (- \cos (θ)) + 2 \sin (θ) \cdot - 1 = 0$

Bước 1.2.2.3

Đưa $2 \sin (θ)$ ra ngoài $2 \sin (θ) (- \cos (θ)) + 2 \sin (θ) \cdot - 1$ .

$2 \sin (θ) (- \cos (θ) - 1) = 0$

Bước 1.2.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$\sin (θ) = 0$

$- \cos (θ) - 1 = 0$

Bước 1.2.4

Đặt $\sin (θ)$ bằng $0$ và giải tìm $θ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Đặt $\sin (θ)$ bằng với $0$ .

$\sin (θ) = 0$

Bước 1.2.4.2

Giải $\sin (θ) = 0$ để tìm $θ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $θ$ từ trong hàm sin.

$θ = \arcsin (0)$

Bước 1.2.4.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.2.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (0)$ là $0$ .

$θ = 0$

Bước 1.2.4.2.3

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$θ = π - 0$

Bước 1.2.4.2.4

Trừ $0$ khỏi $π$ .

$θ = π$

Bước 1.2.4.2.5

Tìm chu kỳ của $\sin (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 1.2.4.2.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 1.2.4.2.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 1.2.4.2.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 1.2.4.2.6

Chu kỳ của hàm $\sin (θ)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$θ = 2 π n, π + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 1.2.5

Đặt $- \cos (θ) - 1$ bằng $0$ và giải tìm $θ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1

Đặt $- \cos (θ) - 1$ bằng với $0$ .

$- \cos (θ) - 1 = 0$

Bước 1.2.5.2

Giải $- \cos (θ) - 1 = 0$ để tìm $θ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.2.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$- \cos (θ) = 1$

Bước 1.2.5.2.2

Chia mỗi số hạng trong $- \cos (θ) = 1$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- \cos (θ) = 1$ cho $- 1$ .

$\frac{- \cos (θ)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Bước 1.2.5.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.2.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\cos (θ)}{1} = \frac{1}{- 1}$

Bước 1.2.5.2.2.2.2

Chia $\cos (θ)$ cho $1$ .

$\cos (θ) = \frac{1}{- 1}$

Bước 1.2.5.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.2.2.3.1

Chia $1$ cho $- 1$ .

$\cos (θ) = - 1$

Bước 1.2.5.2.3

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $θ$ từ trong cosin.

$θ = \arccos (- 1)$

Bước 1.2.5.2.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.2.4.1

Giá trị chính xác của $\arccos (- 1)$ là $π$ .

$θ = π$

Bước 1.2.5.2.5

Hàm cosin âm trong góc phần tư thứ hai và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu từ $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$θ = 2 π - π$

Bước 1.2.5.2.6

Trừ $π$ khỏi $2 π$ .

$θ = π$

Bước 1.2.5.2.7

Tìm chu kỳ của $\cos (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.2.7.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 1.2.5.2.7.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 1.2.5.2.7.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 1.2.5.2.7.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 1.2.5.2.8

Chu kỳ của hàm $\cos (θ)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$θ = π + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 1.2.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $2 \sin (θ) (- \cos (θ) - 1) = 0$ đúng.

$θ = 2 π n, π + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 1.2.7

Hợp nhất các câu trả lời.

$θ = π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 1.3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Bước 1.4

Tính $2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ tại các giá trị $θ$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Tính giá trị tại $θ = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.1

Thay $0$ bằng $θ$ .

$2 \cos (0) + \cos^{2} (0)$

Bước 1.4.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.1.1

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$2 \cdot 1 + \cos^{2} (0)$

Bước 1.4.1.2.1.2

Nhân $2$ với $1$ .

$2 + \cos^{2} (0)$

Bước 1.4.1.2.1.3

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$2 + 1^{2}$

Bước 1.4.1.2.1.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$2 + 1$

Bước 1.4.1.2.2

Cộng $2$ và $1$ .

$3$

Bước 1.4.2

Tính giá trị tại $θ = π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Thay $π$ bằng $θ$ .

$2 \cos (π) + \cos^{2} (π)$

Bước 1.4.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.2.1.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosin âm trong góc phần tư thứ hai.

$2 (- \cos (0)) + \cos^{2} (π)$

Bước 1.4.2.2.1.2

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$2 (- 1 \cdot 1) + \cos^{2} (π)$

Bước 1.4.2.2.1.3

Nhân $2 (- 1 \cdot 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.2.1.3.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$2 \cdot - 1 + \cos^{2} (π)$

Bước 1.4.2.2.1.3.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 + \cos^{2} (π)$

Bước 1.4.2.2.1.4

$- 2 + {(- \cos (0))}^{2}$

Bước 1.4.2.2.1.5

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$- 2 + {(- 1 \cdot 1)}^{2}$

Bước 1.4.2.2.1.6

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 2 + {(- 1)}^{2}$

Bước 1.4.2.2.1.7

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$- 2 + 1$

Bước 1.4.2.2.2

Cộng $- 2$ và $1$ .

$- 1$

Bước 1.4.3

Liệt kê tất cả các điểm.

$(0 + 2 π n, 3), (π + 2 π n, - 1)$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 2

Bỏ các điểm không nằm trong khoảng đang xét ra.

$(0, 3), (2 π, 3), (π, - 1)$

Bước 3

Tính giá trị tại các điểm đầu mút.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính giá trị tại $θ = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Thay $0$ bằng $θ$ .

$2 \cos (0) + \cos^{2} (0)$

Bước 3.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1.1

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$2 \cdot 1 + \cos^{2} (0)$

Bước 3.1.2.1.2

Nhân $2$ với $1$ .

$2 + \cos^{2} (0)$

Bước 3.1.2.1.3

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$2 + 1^{2}$

Bước 3.1.2.1.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$2 + 1$

Bước 3.1.2.2

Cộng $2$ và $1$ .

$3$

Bước 3.2

Tính giá trị tại $θ = 2 π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Thay $2 π$ bằng $θ$ .

$2 \cos (2 π) + \cos^{2} (2 π)$

Bước 3.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1

Trừ vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$2 \cos (0) + \cos^{2} (2 π)$

Bước 3.2.2.1.2

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$2 \cdot 1 + \cos^{2} (2 π)$

Bước 3.2.2.1.3

Nhân $2$ với $1$ .

$2 + \cos^{2} (2 π)$

Bước 3.2.2.1.4

Trừ vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$2 + \cos^{2} (0)$

Bước 3.2.2.1.5

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$2 + 1^{2}$

Bước 3.2.2.1.6

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$2 + 1$

Bước 3.2.2.2

Cộng $2$ và $1$ .

$3$

Bước 3.3

Liệt kê tất cả các điểm.

$(0, 3), (2 π, 3)$

Bước 4

So sánh các giá trị $f (θ)$ tìm được với mỗi giá trị của $θ$ để xác định cực đại tuyệt đối và cực tiểu tuyệt đối trên khoảng đã cho. Cực đại sẽ xảy ra tại giá trị $f (θ)$ cao nhất và cực tiểu sẽ xảy ra tại giá trị $f (θ)$ thấp nhất.

Cực đại tuyệt đối: $(0, 3), (2 π, 3)$

Cực tiểu tuyệt đối: $(π, - 1)$

Bước 5