Giải tích Ví dụ

Tìm Điểm Cực Đại Toàn Cục và Cực Tiểu Toàn Cục trong Khoảng -3x^4-8x^3-6x^2+1
Bước 1
Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.1
Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của đối với .
Bước 1.2
Tính .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.2.1
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 1.2.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 1.2.3
Nhân với .
Bước 1.3
Tính .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.3.1
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 1.3.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 1.3.3
Nhân với .
Bước 1.4
Tính .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.4.1
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 1.4.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 1.4.3
Nhân với .
Bước 1.5
Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.5.1
là hằng số đối với , đạo hàm của đối với .
Bước 1.5.2
Cộng .
Bước 2
Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.1
Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của đối với .
Bước 2.2
Tính .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.2.1
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 2.2.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 2.2.3
Nhân với .
Bước 2.3
Tính .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.3.1
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 2.3.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 2.3.3
Nhân với .
Bước 2.4
Tính .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.4.1
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 2.4.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 2.4.3
Nhân với .
Bước 3
Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng và giải.
Bước 4
Tìm đạo hàm bậc một.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.1
Tìm đạo hàm bậc một.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.1.1
Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của đối với .
Bước 4.1.2
Tính .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.1.2.1
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 4.1.2.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 4.1.2.3
Nhân với .
Bước 4.1.3
Tính .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.1.3.1
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 4.1.3.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 4.1.3.3
Nhân với .
Bước 4.1.4
Tính .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.1.4.1
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 4.1.4.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 4.1.4.3
Nhân với .
Bước 4.1.5
Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.1.5.1
là hằng số đối với , đạo hàm của đối với .
Bước 4.1.5.2
Cộng .
Bước 4.2
Đạo hàm bậc nhất của đối với .
Bước 5
Cho đạo hàm bằng rồi giải phương trình .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.1
Cho đạo hàm bằng .
Bước 5.2
Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.2.1
Đưa ra ngoài .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.2.1.1
Đưa ra ngoài .
Bước 5.2.1.2
Đưa ra ngoài .
Bước 5.2.1.3
Đưa ra ngoài .
Bước 5.2.1.4
Đưa ra ngoài .
Bước 5.2.1.5
Đưa ra ngoài .
Bước 5.2.2
Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.2.2.1
Viết lại ở dạng .
Bước 5.2.2.2
Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.
Bước 5.2.2.3
Viết lại đa thức này.
Bước 5.2.2.4
Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương , trong đó .
Bước 5.3
Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng , toàn bộ biểu thức sẽ bằng .
Bước 5.4
Đặt bằng với .
Bước 5.5
Đặt bằng và giải tìm .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.5.1
Đặt bằng với .
Bước 5.5.2
Giải để tìm .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.5.2.1
Đặt bằng .
Bước 5.5.2.2
Trừ khỏi cả hai vế của phương trình.
Bước 5.6
Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho đúng.
Bước 6
Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.1
Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.
Bước 7
Các điểm cực trị cần tính.
Bước 8
Tính đạo hàm bậc hai tại . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.
Bước 9
Tính đạo hàm bậc hai.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 9.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 9.1.1
Nâng lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho .
Bước 9.1.2
Nhân với .
Bước 9.1.3
Nhân với .
Bước 9.2
Rút gọn bằng cách cộng và trừ.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 9.2.1
Cộng .
Bước 9.2.2
Trừ khỏi .
Bước 10
là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.
là cực đại địa phương
Bước 11
Tìm giá trị y khi .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 11.1
Thay thế biến bằng trong biểu thức.
Bước 11.2
Rút gọn kết quả.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 11.2.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 11.2.1.1
Nâng lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho .
Bước 11.2.1.2
Nhân với .
Bước 11.2.1.3
Nâng lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho .
Bước 11.2.1.4
Nhân với .
Bước 11.2.1.5
Nâng lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho .
Bước 11.2.1.6
Nhân với .
Bước 11.2.2
Rút gọn bằng cách cộng các số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 11.2.2.1
Cộng .
Bước 11.2.2.2
Cộng .
Bước 11.2.2.3
Cộng .
Bước 11.2.3
Câu trả lời cuối cùng là .
Bước 12
Tính đạo hàm bậc hai tại . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.
Bước 13
Tính đạo hàm bậc hai.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 13.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 13.1.1
Nâng lên lũy thừa .
Bước 13.1.2
Nhân với .
Bước 13.1.3
Nhân với .
Bước 13.2
Rút gọn bằng cách cộng và trừ.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 13.2.1
Cộng .
Bước 13.2.2
Trừ khỏi .
Bước 14
Vì có ít nhất một điểm với hoặc đạo hàm bậc hai không xác định, nên ta áp dụng phép kiểm định đạo hàm bậc nhất.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 14.1
Chia thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị và làm cho đạo hàm bậc nhất hoặc không xác định.
Bước 14.2
Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như , từ khoảng trong đạo hàm đầu tiên để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 14.2.1
Thay thế biến bằng trong biểu thức.
Bước 14.2.2
Rút gọn kết quả.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 14.2.2.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 14.2.2.1.1
Nâng lên lũy thừa .
Bước 14.2.2.1.2
Nhân với .
Bước 14.2.2.1.3
Nâng lên lũy thừa .
Bước 14.2.2.1.4
Nhân với .
Bước 14.2.2.1.5
Nhân với .
Bước 14.2.2.2
Rút gọn bằng cách cộng và trừ.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 14.2.2.2.1
Trừ khỏi .
Bước 14.2.2.2.2
Cộng .
Bước 14.2.2.3
Câu trả lời cuối cùng là .
Bước 14.3
Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như , từ khoảng trong đạo hàm đầu tiên để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 14.3.1
Thay thế biến bằng trong biểu thức.
Bước 14.3.2
Rút gọn kết quả.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 14.3.2.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 14.3.2.1.1
Nâng lên lũy thừa .
Bước 14.3.2.1.2
Nhân với .
Bước 14.3.2.1.3
Nâng lên lũy thừa .
Bước 14.3.2.1.4
Nhân với .
Bước 14.3.2.1.5
Nhân với .
Bước 14.3.2.2
Rút gọn bằng cách cộng và trừ.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 14.3.2.2.1
Trừ khỏi .
Bước 14.3.2.2.2
Cộng .
Bước 14.3.2.3
Câu trả lời cuối cùng là .
Bước 14.4
Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như , từ khoảng trong đạo hàm đầu tiên để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 14.4.1
Thay thế biến bằng trong biểu thức.
Bước 14.4.2
Rút gọn kết quả.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 14.4.2.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 14.4.2.1.1
Nâng lên lũy thừa .
Bước 14.4.2.1.2
Nhân với .
Bước 14.4.2.1.3
Nâng lên lũy thừa .
Bước 14.4.2.1.4
Nhân với .
Bước 14.4.2.1.5
Nhân với .
Bước 14.4.2.2
Rút gọn bằng cách trừ các số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 14.4.2.2.1
Trừ khỏi .
Bước 14.4.2.2.2
Trừ khỏi .
Bước 14.4.2.3
Câu trả lời cuối cùng là .
Bước 14.5
Vì đạo hàm bậc nhất không thay đổi dấu xung quanh , nên đây không phải là một cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương.
Không phải là một cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương
Bước 14.6
Vì đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ dương sang âm xung quanh , nên là một cực đại địa phương.
là cực đại địa phương
là cực đại địa phương
Bước 15