Giải tích Ví dụ

Tìm Điểm Cực Đại Toàn Cục và Cực Tiểu Toàn Cục trong Khoảng f(x)=x^2+1/x , x>0
,
Bước 1
Tìm các điểm tới hạn.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.1
Tìm đạo hàm bậc một.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.1.1
Tìm đạo hàm bậc một.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.1.1.1
Tìm đạo hàm.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.1.1.1.1
Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của đối với .
Bước 1.1.1.1.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 1.1.1.2
Tính .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.1.1.2.1
Viết lại ở dạng .
Bước 1.1.1.2.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 1.1.1.3
Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm .
Bước 1.1.2
Đạo hàm bậc nhất của đối với .
Bước 1.2
Cho đạo hàm bằng rồi giải phương trình .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.2.1
Cho đạo hàm bằng .
Bước 1.2.2
Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.2.2.1
Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.
Bước 1.2.2.2
BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.
Bước 1.2.3
Nhân mỗi số hạng trong với để loại bỏ các phân số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.2.3.1
Nhân mỗi số hạng trong với .
Bước 1.2.3.2
Rút gọn vế trái.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.2.3.2.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.2.3.2.1.1
Nhân với bằng cách cộng các số mũ.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.2.3.2.1.1.1
Di chuyển .
Bước 1.2.3.2.1.1.2
Nhân với .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.2.3.2.1.1.2.1
Nâng lên lũy thừa .
Bước 1.2.3.2.1.1.2.2
Sử dụng quy tắc lũy thừa để kết hợp các số mũ.
Bước 1.2.3.2.1.1.3
Cộng .
Bước 1.2.3.2.1.2
Triệt tiêu thừa số chung .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.2.3.2.1.2.1
Di chuyển dấu âm đầu tiên trong vào tử số.
Bước 1.2.3.2.1.2.2
Triệt tiêu thừa số chung.
Bước 1.2.3.2.1.2.3
Viết lại biểu thức.
Bước 1.2.3.3
Rút gọn vế phải.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.2.3.3.1
Nhân với .
Bước 1.2.4
Giải phương trình.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.2.4.1
Cộng cho cả hai vế của phương trình.
Bước 1.2.4.2
Chia mỗi số hạng trong cho và rút gọn.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.2.4.2.1
Chia mỗi số hạng trong cho .
Bước 1.2.4.2.2
Rút gọn vế trái.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.2.4.2.2.1
Triệt tiêu thừa số chung .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.2.4.2.2.1.1
Triệt tiêu thừa số chung.
Bước 1.2.4.2.2.1.2
Chia cho .
Bước 1.2.4.3
Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.
Bước 1.2.4.4
Rút gọn .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.2.4.4.1
Viết lại ở dạng .
Bước 1.2.4.4.2
Bất cứ nghiệm nào của đều là .
Bước 1.2.4.4.3
Nhân với .
Bước 1.2.4.4.4
Kết hợp và rút gọn mẫu số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.2.4.4.4.1
Nhân với .
Bước 1.2.4.4.4.2
Nâng lên lũy thừa .
Bước 1.2.4.4.4.3
Sử dụng quy tắc lũy thừa để kết hợp các số mũ.
Bước 1.2.4.4.4.4
Cộng .
Bước 1.2.4.4.4.5
Viết lại ở dạng .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.2.4.4.4.5.1
Sử dụng để viết lại ở dạng .
Bước 1.2.4.4.4.5.2
Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, .
Bước 1.2.4.4.4.5.3
Kết hợp .
Bước 1.2.4.4.4.5.4
Triệt tiêu thừa số chung .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.2.4.4.4.5.4.1
Triệt tiêu thừa số chung.
Bước 1.2.4.4.4.5.4.2
Viết lại biểu thức.
Bước 1.2.4.4.4.5.5
Tính số mũ.
Bước 1.2.4.4.5
Rút gọn tử số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.2.4.4.5.1
Viết lại ở dạng .
Bước 1.2.4.4.5.2
Nâng lên lũy thừa .
Bước 1.3
Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.3.1
Đặt mẫu số trong bằng để tìm nơi biểu thức không xác định.
Bước 1.3.2
Giải tìm .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.3.2.1
Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.
Bước 1.3.2.2
Rút gọn .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.3.2.2.1
Viết lại ở dạng .
Bước 1.3.2.2.2
Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.
Bước 1.3.2.2.3
Cộng hoặc trừ .
Bước 1.4
Tính tại các giá trị có đạo hàm bằng hoặc không xác định.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.4.1
Tính giá trị tại .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.4.1.1
Thay bằng .
Bước 1.4.1.2
Rút gọn.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.4.1.2.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.4.1.2.1.1
Áp dụng quy tắc tích số cho .
Bước 1.4.1.2.1.2
Rút gọn tử số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.4.1.2.1.2.1
Viết lại ở dạng .
Bước 1.4.1.2.1.2.2
Nâng lên lũy thừa .
Bước 1.4.1.2.1.2.3
Viết lại ở dạng .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.4.1.2.1.2.3.1
Đưa ra ngoài .
Bước 1.4.1.2.1.2.3.2
Viết lại ở dạng .
Bước 1.4.1.2.1.2.4
Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.
Bước 1.4.1.2.1.3
Nâng lên lũy thừa .
Bước 1.4.1.2.1.4
Triệt tiêu thừa số chung của .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.4.1.2.1.4.1
Đưa ra ngoài .
Bước 1.4.1.2.1.4.2
Triệt tiêu các thừa số chung.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.4.1.2.1.4.2.1
Đưa ra ngoài .
Bước 1.4.1.2.1.4.2.2
Triệt tiêu thừa số chung.
Bước 1.4.1.2.1.4.2.3
Viết lại biểu thức.
Bước 1.4.1.2.1.5
Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.
Bước 1.4.1.2.1.6
Nhân với .
Bước 1.4.1.2.1.7
Nhân với .
Bước 1.4.1.2.1.8
Kết hợp và rút gọn mẫu số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.4.1.2.1.8.1
Nhân với .
Bước 1.4.1.2.1.8.2
Nâng lên lũy thừa .
Bước 1.4.1.2.1.8.3
Sử dụng quy tắc lũy thừa để kết hợp các số mũ.
Bước 1.4.1.2.1.8.4
Cộng .
Bước 1.4.1.2.1.8.5
Viết lại ở dạng .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.4.1.2.1.8.5.1
Sử dụng để viết lại ở dạng .
Bước 1.4.1.2.1.8.5.2
Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, .
Bước 1.4.1.2.1.8.5.3
Kết hợp .
Bước 1.4.1.2.1.8.5.4
Triệt tiêu thừa số chung .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.4.1.2.1.8.5.4.1
Triệt tiêu thừa số chung.
Bước 1.4.1.2.1.8.5.4.2
Viết lại biểu thức.
Bước 1.4.1.2.1.8.5.5
Tính số mũ.
Bước 1.4.1.2.1.9
Triệt tiêu thừa số chung của .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.4.1.2.1.9.1
Đưa ra ngoài .
Bước 1.4.1.2.1.9.2
Triệt tiêu các thừa số chung.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.4.1.2.1.9.2.1
Đưa ra ngoài .
Bước 1.4.1.2.1.9.2.2
Triệt tiêu thừa số chung.
Bước 1.4.1.2.1.9.2.3
Viết lại biểu thức.
Bước 1.4.1.2.1.10
Rút gọn tử số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.4.1.2.1.10.1
Viết lại ở dạng .
Bước 1.4.1.2.1.10.2
Nâng lên lũy thừa .
Bước 1.4.1.2.1.10.3
Viết lại ở dạng .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.4.1.2.1.10.3.1
Đưa ra ngoài .
Bước 1.4.1.2.1.10.3.2
Viết lại ở dạng .
Bước 1.4.1.2.1.10.4
Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.
Bước 1.4.1.2.1.11
Triệt tiêu thừa số chung .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.4.1.2.1.11.1
Triệt tiêu thừa số chung.
Bước 1.4.1.2.1.11.2
Chia cho .
Bước 1.4.1.2.2
Để viết ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với .
Bước 1.4.1.2.3
Kết hợp các phân số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.4.1.2.3.1
Kết hợp .
Bước 1.4.1.2.3.2
Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.
Bước 1.4.1.2.4
Rút gọn tử số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.4.1.2.4.1
Di chuyển sang phía bên trái của .
Bước 1.4.1.2.4.2
Cộng .
Bước 1.4.2
Tính giá trị tại .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.4.2.1
Thay bằng .
Bước 1.4.2.2
Biểu thức chứa một phép chia cho . Biểu thức không xác định.
Không xác định
Không xác định
Bước 1.4.3
Liệt kê tất cả các điểm.
Bước 2
Dùng phép kiểm định đạo hàm bậc nhất để xác định các điểm cực đại hoặc cực tiểu.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.1
Chia thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị và làm cho đạo hàm bậc nhất hoặc không xác định.
Bước 2.2
Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như , từ khoảng trong đạo hàm đầu tiên để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.2.1
Thay thế biến bằng trong biểu thức.
Bước 2.2.2
Rút gọn kết quả.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.2.2.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.2.2.1.1
Nhân với .
Bước 2.2.2.1.2
Nâng lên lũy thừa .
Bước 2.2.2.2
Để viết ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với .
Bước 2.2.2.3
Kết hợp .
Bước 2.2.2.4
Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.
Bước 2.2.2.5
Rút gọn tử số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.2.2.5.1
Nhân với .
Bước 2.2.2.5.2
Trừ khỏi .
Bước 2.2.2.6
Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.
Bước 2.2.2.7
Câu trả lời cuối cùng là .
Bước 2.3
Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như , từ khoảng trong đạo hàm đầu tiên để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.3.1
Thay thế biến bằng trong biểu thức.
Bước 2.3.2
Rút gọn kết quả.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.3.2.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.3.2.1.1
Nhân với .
Bước 2.3.2.1.2
Nâng lên lũy thừa .
Bước 2.3.2.2
Để viết ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với .
Bước 2.3.2.3
Kết hợp .
Bước 2.3.2.4
Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.
Bước 2.3.2.5
Rút gọn tử số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.3.2.5.1
Nhân với .
Bước 2.3.2.5.2
Trừ khỏi .
Bước 2.3.2.6
Câu trả lời cuối cùng là .
Bước 2.4
Vì đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ âm sang dương xung quanh , nên là một cực tiểu địa phương.
là cực tiểu địa phương
là cực tiểu địa phương
Bước 3
So sánh các giá trị tìm được với mỗi giá trị của để xác định cực đại tuyệt đối và cực tiểu tuyệt đối trên khoảng đã cho. Cực đại sẽ xảy ra tại giá trị cao nhất và cực tiểu sẽ xảy ra tại giá trị thấp nhất.
Không có cực đại tuyệt đối
Cực tiểu tuyệt đối:
Bước 4