Giải tích Ví dụ

Tìm Điểm Cực Đại Toàn Cục và Cực Tiểu Toàn Cục trong Khoảng 3x^4+4x^3-12x^2+5
Bước 1
Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.1
Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của đối với .
Bước 1.2
Tính .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.2.1
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 1.2.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 1.2.3
Nhân với .
Bước 1.3
Tính .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.3.1
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 1.3.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 1.3.3
Nhân với .
Bước 1.4
Tính .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.4.1
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 1.4.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 1.4.3
Nhân với .
Bước 1.5
Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.5.1
là hằng số đối với , đạo hàm của đối với .
Bước 1.5.2
Cộng .
Bước 2
Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.1
Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của đối với .
Bước 2.2
Tính .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.2.1
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 2.2.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 2.2.3
Nhân với .
Bước 2.3
Tính .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.3.1
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 2.3.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 2.3.3
Nhân với .
Bước 2.4
Tính .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.4.1
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 2.4.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 2.4.3
Nhân với .
Bước 3
Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng và giải.
Bước 4
Tìm đạo hàm bậc một.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.1
Tìm đạo hàm bậc một.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.1.1
Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của đối với .
Bước 4.1.2
Tính .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.1.2.1
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 4.1.2.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 4.1.2.3
Nhân với .
Bước 4.1.3
Tính .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.1.3.1
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 4.1.3.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 4.1.3.3
Nhân với .
Bước 4.1.4
Tính .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.1.4.1
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 4.1.4.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 4.1.4.3
Nhân với .
Bước 4.1.5
Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.1.5.1
là hằng số đối với , đạo hàm của đối với .
Bước 4.1.5.2
Cộng .
Bước 4.2
Đạo hàm bậc nhất của đối với .
Bước 5
Cho đạo hàm bằng rồi giải phương trình .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.1
Cho đạo hàm bằng .
Bước 5.2
Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.2.1
Đưa ra ngoài .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.2.1.1
Đưa ra ngoài .
Bước 5.2.1.2
Đưa ra ngoài .
Bước 5.2.1.3
Đưa ra ngoài .
Bước 5.2.1.4
Đưa ra ngoài .
Bước 5.2.1.5
Đưa ra ngoài .
Bước 5.2.2
Phân tích thành thừa số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.2.2.1
Phân tích thành thừa số bằng phương pháp AC.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.2.2.1.1
Xét dạng . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là và tổng của chúng là . Trong trường hợp này, tích số của chúng là và tổng của chúng là .
Bước 5.2.2.1.2
Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.
Bước 5.2.2.2
Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.
Bước 5.3
Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng , toàn bộ biểu thức sẽ bằng .
Bước 5.4
Đặt bằng với .
Bước 5.5
Đặt bằng và giải tìm .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.5.1
Đặt bằng với .
Bước 5.5.2
Cộng cho cả hai vế của phương trình.
Bước 5.6
Đặt bằng và giải tìm .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.6.1
Đặt bằng với .
Bước 5.6.2
Trừ khỏi cả hai vế của phương trình.
Bước 5.7
Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho đúng.
Bước 6
Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.1
Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.
Bước 7
Các điểm cực trị cần tính.
Bước 8
Tính đạo hàm bậc hai tại . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.
Bước 9
Tính đạo hàm bậc hai.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 9.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 9.1.1
Nâng lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho .
Bước 9.1.2
Nhân với .
Bước 9.1.3
Nhân với .
Bước 9.2
Rút gọn bằng cách cộng và trừ.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 9.2.1
Cộng .
Bước 9.2.2
Trừ khỏi .
Bước 10
là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.
là cực đại địa phương
Bước 11
Tìm giá trị y khi .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 11.1
Thay thế biến bằng trong biểu thức.
Bước 11.2
Rút gọn kết quả.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 11.2.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 11.2.1.1
Nâng lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho .
Bước 11.2.1.2
Nhân với .
Bước 11.2.1.3
Nâng lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho .
Bước 11.2.1.4
Nhân với .
Bước 11.2.1.5
Nâng lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho .
Bước 11.2.1.6
Nhân với .
Bước 11.2.2
Rút gọn bằng cách cộng các số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 11.2.2.1
Cộng .
Bước 11.2.2.2
Cộng .
Bước 11.2.2.3
Cộng .
Bước 11.2.3
Câu trả lời cuối cùng là .
Bước 12
Tính đạo hàm bậc hai tại . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.
Bước 13
Tính đạo hàm bậc hai.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 13.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 13.1.1
Một mũ bất kỳ số nào là một.
Bước 13.1.2
Nhân với .
Bước 13.1.3
Nhân với .
Bước 13.2
Rút gọn bằng cách cộng và trừ.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 13.2.1
Cộng .
Bước 13.2.2
Trừ khỏi .
Bước 14
là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.
là cực tiểu địa phương
Bước 15
Tìm giá trị y khi .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 15.1
Thay thế biến bằng trong biểu thức.
Bước 15.2
Rút gọn kết quả.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 15.2.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 15.2.1.1
Một mũ bất kỳ số nào là một.
Bước 15.2.1.2
Nhân với .
Bước 15.2.1.3
Một mũ bất kỳ số nào là một.
Bước 15.2.1.4
Nhân với .
Bước 15.2.1.5
Một mũ bất kỳ số nào là một.
Bước 15.2.1.6
Nhân với .
Bước 15.2.2
Rút gọn bằng cách cộng và trừ.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 15.2.2.1
Cộng .
Bước 15.2.2.2
Trừ khỏi .
Bước 15.2.2.3
Cộng .
Bước 15.2.3
Câu trả lời cuối cùng là .
Bước 16
Tính đạo hàm bậc hai tại . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.
Bước 17
Tính đạo hàm bậc hai.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 17.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 17.1.1
Nâng lên lũy thừa .
Bước 17.1.2
Nhân với .
Bước 17.1.3
Nhân với .
Bước 17.2
Rút gọn bằng cách trừ các số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 17.2.1
Trừ khỏi .
Bước 17.2.2
Trừ khỏi .
Bước 18
là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.
là cực tiểu địa phương
Bước 19
Tìm giá trị y khi .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 19.1
Thay thế biến bằng trong biểu thức.
Bước 19.2
Rút gọn kết quả.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 19.2.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 19.2.1.1
Nâng lên lũy thừa .
Bước 19.2.1.2
Nhân với .
Bước 19.2.1.3
Nâng lên lũy thừa .
Bước 19.2.1.4
Nhân với .
Bước 19.2.1.5
Nâng lên lũy thừa .
Bước 19.2.1.6
Nhân với .
Bước 19.2.2
Rút gọn bằng cách cộng và trừ.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 19.2.2.1
Trừ khỏi .
Bước 19.2.2.2
Trừ khỏi .
Bước 19.2.2.3
Cộng .
Bước 19.2.3
Câu trả lời cuối cùng là .
Bước 20
Đây là những cực trị địa phương cho .
là một cực đại địa phuơng
là một cực tiểu địa phương
là một cực tiểu địa phương
Bước 21