Giải tích Ví dụ

Tìm Điểm Cực Đại Toàn Cục và Cực Tiểu Toàn Cục trong Khoảng f(x)=(4x)/(x^2+1)
Bước 1
Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.1
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 1.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 1.3
Tìm đạo hàm.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.3.1
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 1.3.2
Nhân với .
Bước 1.3.3
Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của đối với .
Bước 1.3.4
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 1.3.5
là hằng số đối với , đạo hàm của đối với .
Bước 1.3.6
Rút gọn biểu thức.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.3.6.1
Cộng .
Bước 1.3.6.2
Nhân với .
Bước 1.4
Nâng lên lũy thừa .
Bước 1.5
Nâng lên lũy thừa .
Bước 1.6
Sử dụng quy tắc lũy thừa để kết hợp các số mũ.
Bước 1.7
Cộng .
Bước 1.8
Trừ khỏi .
Bước 1.9
Kết hợp .
Bước 1.10
Rút gọn.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.10.1
Áp dụng thuộc tính phân phối.
Bước 1.10.2
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.10.2.1
Nhân với .
Bước 1.10.2.2
Nhân với .
Bước 2
Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.1
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 2.2
Tìm đạo hàm.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.2.1
Nhân các số mũ trong .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.2.1.1
Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, .
Bước 2.2.1.2
Nhân với .
Bước 2.2.2
Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của đối với .
Bước 2.2.3
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 2.2.4
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 2.2.5
Nhân với .
Bước 2.2.6
là hằng số đối với , đạo hàm của đối với .
Bước 2.2.7
Cộng .
Bước 2.3
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng trong đó .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.3.1
Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập ở dạng .
Bước 2.3.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 2.3.3
Thay thế tất cả các lần xuất hiện của với .
Bước 2.4
Tìm đạo hàm.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.4.1
Nhân với .
Bước 2.4.2
Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của đối với .
Bước 2.4.3
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 2.4.4
là hằng số đối với , đạo hàm của đối với .
Bước 2.4.5
Rút gọn biểu thức.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.4.5.1
Cộng .
Bước 2.4.5.2
Di chuyển sang phía bên trái của .
Bước 2.4.5.3
Nhân với .
Bước 2.5
Rút gọn.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.5.1
Áp dụng thuộc tính phân phối.
Bước 2.5.2
Áp dụng thuộc tính phân phối.
Bước 2.5.3
Rút gọn tử số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.5.3.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.5.3.1.1
Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.
Bước 2.5.3.1.2
Viết lại ở dạng .
Bước 2.5.3.1.3
Khai triển bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.5.3.1.3.1
Áp dụng thuộc tính phân phối.
Bước 2.5.3.1.3.2
Áp dụng thuộc tính phân phối.
Bước 2.5.3.1.3.3
Áp dụng thuộc tính phân phối.
Bước 2.5.3.1.4
Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.5.3.1.4.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.5.3.1.4.1.1
Nhân với bằng cách cộng các số mũ.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.5.3.1.4.1.1.1
Sử dụng quy tắc lũy thừa để kết hợp các số mũ.
Bước 2.5.3.1.4.1.1.2
Cộng .
Bước 2.5.3.1.4.1.2
Nhân với .
Bước 2.5.3.1.4.1.3
Nhân với .
Bước 2.5.3.1.4.1.4
Nhân với .
Bước 2.5.3.1.4.2
Cộng .
Bước 2.5.3.1.5
Áp dụng thuộc tính phân phối.
Bước 2.5.3.1.6
Rút gọn.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.5.3.1.6.1
Nhân với .
Bước 2.5.3.1.6.2
Nhân với .
Bước 2.5.3.1.7
Áp dụng thuộc tính phân phối.
Bước 2.5.3.1.8
Rút gọn.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.5.3.1.8.1
Nhân với bằng cách cộng các số mũ.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.5.3.1.8.1.1
Di chuyển .
Bước 2.5.3.1.8.1.2
Nhân với .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.5.3.1.8.1.2.1
Nâng lên lũy thừa .
Bước 2.5.3.1.8.1.2.2
Sử dụng quy tắc lũy thừa để kết hợp các số mũ.
Bước 2.5.3.1.8.1.3
Cộng .
Bước 2.5.3.1.8.2
Nhân với bằng cách cộng các số mũ.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.5.3.1.8.2.1
Di chuyển .
Bước 2.5.3.1.8.2.2
Nhân với .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.5.3.1.8.2.2.1
Nâng lên lũy thừa .
Bước 2.5.3.1.8.2.2.2
Sử dụng quy tắc lũy thừa để kết hợp các số mũ.
Bước 2.5.3.1.8.2.3
Cộng .
Bước 2.5.3.1.9
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.5.3.1.9.1
Nhân với .
Bước 2.5.3.1.9.2
Nhân với .
Bước 2.5.3.1.10
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.5.3.1.10.1
Nhân với bằng cách cộng các số mũ.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.5.3.1.10.1.1
Nhân với .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.5.3.1.10.1.1.1
Nâng lên lũy thừa .
Bước 2.5.3.1.10.1.1.2
Sử dụng quy tắc lũy thừa để kết hợp các số mũ.
Bước 2.5.3.1.10.1.2
Cộng .
Bước 2.5.3.1.10.2
Nhân với .
Bước 2.5.3.1.11
Khai triển bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.5.3.1.11.1
Áp dụng thuộc tính phân phối.
Bước 2.5.3.1.11.2
Áp dụng thuộc tính phân phối.
Bước 2.5.3.1.11.3
Áp dụng thuộc tính phân phối.
Bước 2.5.3.1.12
Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.5.3.1.12.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.5.3.1.12.1.1
Nhân với bằng cách cộng các số mũ.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.5.3.1.12.1.1.1
Di chuyển .
Bước 2.5.3.1.12.1.1.2
Sử dụng quy tắc lũy thừa để kết hợp các số mũ.
Bước 2.5.3.1.12.1.1.3
Cộng .
Bước 2.5.3.1.12.1.2
Nhân với bằng cách cộng các số mũ.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.5.3.1.12.1.2.1
Di chuyển .
Bước 2.5.3.1.12.1.2.2
Nhân với .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.5.3.1.12.1.2.2.1
Nâng lên lũy thừa .
Bước 2.5.3.1.12.1.2.2.2
Sử dụng quy tắc lũy thừa để kết hợp các số mũ.
Bước 2.5.3.1.12.1.2.3
Cộng .
Bước 2.5.3.1.12.2
Trừ khỏi .
Bước 2.5.3.1.12.3
Cộng .
Bước 2.5.3.2
Cộng .
Bước 2.5.3.3
Trừ khỏi .
Bước 2.5.4
Rút gọn tử số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.5.4.1
Đưa ra ngoài .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.5.4.1.1
Đưa ra ngoài .
Bước 2.5.4.1.2
Đưa ra ngoài .
Bước 2.5.4.1.3
Đưa ra ngoài .
Bước 2.5.4.1.4
Đưa ra ngoài .
Bước 2.5.4.1.5
Đưa ra ngoài .
Bước 2.5.4.2
Viết lại ở dạng .
Bước 2.5.4.3
Giả sử . Thay cho tất cả các lần xuất hiện của .
Bước 2.5.4.4
Phân tích thành thừa số bằng phương pháp AC.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.5.4.4.1
Xét dạng . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là và tổng của chúng là . Trong trường hợp này, tích số của chúng là và tổng của chúng là .
Bước 2.5.4.4.2
Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.
Bước 2.5.4.5
Thay thế tất cả các lần xuất hiện của với .
Bước 2.5.5
Triệt tiêu thừa số chung của .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.5.5.1
Đưa ra ngoài .
Bước 2.5.5.2
Triệt tiêu các thừa số chung.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.5.5.2.1
Đưa ra ngoài .
Bước 2.5.5.2.2
Triệt tiêu thừa số chung.
Bước 2.5.5.2.3
Viết lại biểu thức.
Bước 3
Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng và giải.
Bước 4
Tìm đạo hàm bậc một.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.1
Tìm đạo hàm bậc một.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.1.1
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 4.1.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 4.1.3
Tìm đạo hàm.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.1.3.1
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 4.1.3.2
Nhân với .
Bước 4.1.3.3
Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của đối với .
Bước 4.1.3.4
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 4.1.3.5
là hằng số đối với , đạo hàm của đối với .
Bước 4.1.3.6
Rút gọn biểu thức.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.1.3.6.1
Cộng .
Bước 4.1.3.6.2
Nhân với .
Bước 4.1.4
Nâng lên lũy thừa .
Bước 4.1.5
Nâng lên lũy thừa .
Bước 4.1.6
Sử dụng quy tắc lũy thừa để kết hợp các số mũ.
Bước 4.1.7
Cộng .
Bước 4.1.8
Trừ khỏi .
Bước 4.1.9
Kết hợp .
Bước 4.1.10
Rút gọn.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.1.10.1
Áp dụng thuộc tính phân phối.
Bước 4.1.10.2
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.1.10.2.1
Nhân với .
Bước 4.1.10.2.2
Nhân với .
Bước 4.2
Đạo hàm bậc nhất của đối với .
Bước 5
Cho đạo hàm bằng rồi giải phương trình .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.1
Cho đạo hàm bằng .
Bước 5.2
Cho tử bằng không.
Bước 5.3
Giải phương trình để tìm .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.3.1
Trừ khỏi cả hai vế của phương trình.
Bước 5.3.2
Chia mỗi số hạng trong cho và rút gọn.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.3.2.1
Chia mỗi số hạng trong cho .
Bước 5.3.2.2
Rút gọn vế trái.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.3.2.2.1
Triệt tiêu thừa số chung .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.3.2.2.1.1
Triệt tiêu thừa số chung.
Bước 5.3.2.2.1.2
Chia cho .
Bước 5.3.2.3
Rút gọn vế phải.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.3.2.3.1
Chia cho .
Bước 5.3.3
Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.
Bước 5.3.4
Bất cứ nghiệm nào của đều là .
Bước 5.3.5
Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.3.5.1
Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của để tìm đáp án đầu tiên.
Bước 5.3.5.2
Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của để tìm đáp án thứ hai.
Bước 5.3.5.3
Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.
Bước 6
Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.1
Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.
Bước 7
Các điểm cực trị cần tính.
Bước 8
Tính đạo hàm bậc hai tại . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.
Bước 9
Tính đạo hàm bậc hai.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 9.1
Nhân với .
Bước 9.2
Rút gọn mẫu số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 9.2.1
Một mũ bất kỳ số nào là một.
Bước 9.2.2
Cộng .
Bước 9.2.3
Nâng lên lũy thừa .
Bước 9.3
Rút gọn tử số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 9.3.1
Một mũ bất kỳ số nào là một.
Bước 9.3.2
Trừ khỏi .
Bước 9.4
Rút gọn biểu thức.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 9.4.1
Nhân với .
Bước 9.4.2
Chia cho .
Bước 10
là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.
là cực đại địa phương
Bước 11
Tìm giá trị y khi .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 11.1
Thay thế biến bằng trong biểu thức.
Bước 11.2
Rút gọn kết quả.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 11.2.1
Nhân với .
Bước 11.2.2
Rút gọn mẫu số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 11.2.2.1
Một mũ bất kỳ số nào là một.
Bước 11.2.2.2
Cộng .
Bước 11.2.3
Chia cho .
Bước 11.2.4
Câu trả lời cuối cùng là .
Bước 12
Tính đạo hàm bậc hai tại . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.
Bước 13
Tính đạo hàm bậc hai.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 13.1
Nhân với .
Bước 13.2
Rút gọn mẫu số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 13.2.1
Nâng lên lũy thừa .
Bước 13.2.2
Cộng .
Bước 13.2.3
Nâng lên lũy thừa .
Bước 13.3
Rút gọn tử số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 13.3.1
Nâng lên lũy thừa .
Bước 13.3.2
Trừ khỏi .
Bước 13.4
Rút gọn biểu thức.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 13.4.1
Nhân với .
Bước 13.4.2
Chia cho .
Bước 14
là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.
là cực tiểu địa phương
Bước 15
Tìm giá trị y khi .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 15.1
Thay thế biến bằng trong biểu thức.
Bước 15.2
Rút gọn kết quả.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 15.2.1
Nhân với .
Bước 15.2.2
Rút gọn mẫu số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 15.2.2.1
Nâng lên lũy thừa .
Bước 15.2.2.2
Cộng .
Bước 15.2.3
Chia cho .
Bước 15.2.4
Câu trả lời cuối cùng là .
Bước 16
Đây là những cực trị địa phương cho .
là một cực đại địa phuơng
là một cực tiểu địa phương
Bước 17