Giải tích Ví dụ

$g (x) = x^{3} e^{- x}$ , $- 1 \leq x \leq 4$

Bước 1

Tìm các điểm tới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = e^{- x}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 1.1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- x$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 1.1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$x^{3} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 1.1.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- x$ .

$x^{3} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 1.1.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{3} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 1.1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x^{3} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 1.1.1.3.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.3.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$x^{3} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 1.1.1.3.3.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $e^{- x}$ .

$x^{3} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 1.1.1.3.3.3

Viết lại $- 1 e^{- x}$ ở dạng $- e^{- x}$ .

$x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 1.1.1.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} (3 x^{2})$

Bước 1.1.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.4.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$- e^{- x} x^{3} + 3 e^{- x} x^{2}$

Bước 1.1.1.4.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $- e^{- x} x^{3} + 3 e^{- x} x^{2}$ .

$f' (x) = - x^{3} e^{- x} + 3 x^{2} e^{- x}$

Bước 1.1.2

Đạo hàm bậc nhất của $g (x)$ đối với $x$ là $- x^{3} e^{- x} + 3 x^{2} e^{- x}$ .

$- x^{3} e^{- x} + 3 x^{2} e^{- x}$

Bước 1.2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $- x^{3} e^{- x} + 3 x^{2} e^{- x} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$- x^{3} e^{- x} + 3 x^{2} e^{- x} = 0$

Bước 1.2.2

Đưa $x^{2} e^{- x}$ ra ngoài $- x^{3} e^{- x} + 3 x^{2} e^{- x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Đưa $x^{2} e^{- x}$ ra ngoài $- x^{3} e^{- x}$ .

$x^{2} e^{- x} (- x) + 3 x^{2} e^{- x} = 0$

Bước 1.2.2.2

Đưa $x^{2} e^{- x}$ ra ngoài $3 x^{2} e^{- x}$ .

$x^{2} e^{- x} (- x) + x^{2} e^{- x} (3) = 0$

Bước 1.2.2.3

Đưa $x^{2} e^{- x}$ ra ngoài $x^{2} e^{- x} (- x) + x^{2} e^{- x} (3)$ .

$x^{2} e^{- x} (- x + 3) = 0$

Bước 1.2.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x^{2} = 0$

$e^{- x} = 0$

$- x + 3 = 0$

Bước 1.2.4

Đặt $x^{2}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Đặt $x^{2}$ bằng với $0$ .

$x^{2} = 0$

Bước 1.2.4.2

Giải $x^{2} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{0}$

Bước 1.2.4.2.2

Rút gọn $\pm \sqrt{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.2.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Bước 1.2.4.2.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 0$

Bước 1.2.4.2.2.3

Cộng hoặc trừ $0$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 1.2.5

Đặt $e^{- x}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1

Đặt $e^{- x}$ bằng với $0$ .

$e^{- x} = 0$

Bước 1.2.5.2

Giải $e^{- x} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.2.1

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Bước 1.2.5.2.2

Không thể giải phương trình vì $\ln (0)$ không xác định.

Không xác định

Bước 1.2.5.2.3

Không có đáp án nào cho $e^{- x} = 0$

Không có đáp án

Bước 1.2.6

Đặt $- x + 3$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.1

Đặt $- x + 3$ bằng với $0$ .

$- x + 3 = 0$

Bước 1.2.6.2

Giải $- x + 3 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.2.1

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- x = - 3$

Bước 1.2.6.2.2

Chia mỗi số hạng trong $- x = - 3$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- x = - 3$ cho $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Bước 1.2.6.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.2.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Bước 1.2.6.2.2.2.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Bước 1.2.6.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.2.2.3.1

Chia $- 3$ cho $- 1$ .

$x = 3$

Bước 1.2.7

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $x^{2} e^{- x} (- x + 3) = 0$ đúng.

$x = 0, 3$

Bước 1.3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Bước 1.4

Tính $x^{3} e^{- x}$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Tính giá trị tại $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.1

Thay $0$ bằng $x$ .

${(0)}^{3} e^{- (0)}$

Bước 1.4.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$0 e^{- (0)}$

Bước 1.4.1.2.2

Nhân $- 1$ với $0$ .

$0 e^{0}$

Bước 1.4.1.2.3

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$0 \cdot 1$

Bước 1.4.1.2.4

Nhân $0$ với $1$ .

$0$

Bước 1.4.2

Tính giá trị tại $x = 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Thay $3$ bằng $x$ .

${(3)}^{3} e^{- (3)}$

Bước 1.4.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.2.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$27 e^{- (3)}$

Bước 1.4.2.2.2

Nhân $- 1$ với $3$ .

$27 e^{- 3}$

Bước 1.4.2.2.3

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$27 \frac{1}{e^{3}}$

Bước 1.4.2.2.4

Kết hợp $27$ và $\frac{1}{e^{3}}$ .

$\frac{27}{e^{3}}$

Bước 1.4.3

Liệt kê tất cả các điểm.

$(0, 0), (3, \frac{27}{e^{3}})$

Bước 2

Tính giá trị tại các điểm đầu mút.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính giá trị tại $x = - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Thay $- 1$ bằng $x$ .

${(- 1)}^{3} e^{- (- 1)}$

Bước 2.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$- 1 e^{- (- 1)}$

Bước 2.1.2.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- 1 e^{1}$

Bước 2.1.2.3

Rút gọn.

$- 1 e$

Bước 2.1.2.4

Viết lại $- 1 e$ ở dạng $- e$ .

$- e$

Bước 2.2

Tính giá trị tại $x = 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Thay $4$ bằng $x$ .

${(4)}^{3} e^{- (4)}$

Bước 2.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $3$ .

$64 e^{- (4)}$

Bước 2.2.2.2

Nhân $- 1$ với $4$ .

$64 e^{- 4}$

Bước 2.2.2.3

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$64 \frac{1}{e^{4}}$

Bước 2.2.2.4

Kết hợp $64$ và $\frac{1}{e^{4}}$ .

$\frac{64}{e^{4}}$

Bước 2.3

Liệt kê tất cả các điểm.

$(- 1, - e), (4, \frac{64}{e^{4}})$

Bước 3

So sánh các giá trị $g (x)$ tìm được với mỗi giá trị của $x$ để xác định cực đại tuyệt đối và cực tiểu tuyệt đối trên khoảng đã cho. Cực đại sẽ xảy ra tại giá trị $g (x)$ cao nhất và cực tiểu sẽ xảy ra tại giá trị $g (x)$ thấp nhất.

Cực đại tuyệt đối: $(3, \frac{27}{e^{3}})$

Cực tiểu tuyệt đối: $(- 1, - e)$

Bước 4