Giải tích Ví dụ

$x^{3} e^{x}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = e^{x}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$x^{3} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2})$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$e^{x} x^{3} + 3 e^{x} x^{2}$

Bước 1.4.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{x} x^{3} + 3 e^{x} x^{2}$ .

$x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{3} e^{x}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3} e^{x}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2} e^{x})$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [x^{3} e^{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

$f'' (x) = x^{3} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2} e^{x})$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x^{3} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2} e^{x})$

Bước 2.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$f'' (x) = x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2} e^{x})$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{2} e^{x}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

$f'' (x) = x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + 3 \frac{d}{d x} (x^{2} e^{x})$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + 3 (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Bước 2.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Bước 2.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f'' (x) = x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x))$

Bước 2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + 3 (x^{2} e^{x}) + 3 (e^{x} (2 x))$

Bước 2.4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Nhân $2$ với $3$ .

$f'' (x) = x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + 3 x^{2} e^{x} + 6 (e^{x} (x))$

Bước 2.4.2.2

Cộng $e^{x} (3 x^{2})$ và $3 x^{2} e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.2.1

Di chuyển $e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x} + 3 x^{2} e^{x} + 6 e^{x} x$

Bước 2.4.2.2.2

Cộng $3 x^{2} e^{x}$ và $3 x^{2} e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{3} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + 6 e^{x} x$

Bước 2.4.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$f'' (x) = e^{x} x^{3} + 6 e^{x} x^{2} + 6 e^{x} x$

Bước 2.4.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{x} x^{3} + 6 e^{x} x^{2} + 6 e^{x} x$ .

$f'' (x) = x^{3} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x}$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x} = 0$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

$x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 4.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$x^{3} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2})$

Bước 4.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.4.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$e^{x} x^{3} + 3 e^{x} x^{2}$

Bước 4.1.4.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{x} x^{3} + 3 e^{x} x^{2}$ .

$f' (x) = x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$

Bước 4.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$ .

$x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$

Bước 5

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x} = 0$

Bước 5.2

Đưa $x^{2} e^{x}$ ra ngoài $x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $x^{2} e^{x}$ ra ngoài $x^{3} e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} (x) + 3 x^{2} e^{x} = 0$

Bước 5.2.2

Đưa $x^{2} e^{x}$ ra ngoài $3 x^{2} e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} (x) + x^{2} e^{x} (3) = 0$

Bước 5.2.3

Đưa $x^{2} e^{x}$ ra ngoài $x^{2} e^{x} (x) + x^{2} e^{x} (3)$ .

$x^{2} e^{x} (x + 3) = 0$

Bước 5.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x^{2} = 0$

$e^{x} = 0$

$x + 3 = 0$

Bước 5.4

Đặt $x^{2}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Đặt $x^{2}$ bằng với $0$ .

$x^{2} = 0$

Bước 5.4.2

Giải $x^{2} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{0}$

Bước 5.4.2.2

Rút gọn $\pm \sqrt{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.2.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Bước 5.4.2.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 0$

Bước 5.4.2.2.3

Cộng hoặc trừ $0$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 5.5

Đặt $e^{x}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Đặt $e^{x}$ bằng với $0$ .

$e^{x} = 0$

Bước 5.5.2

Giải $e^{x} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Bước 5.5.2.2

Không thể giải phương trình vì $\ln (0)$ không xác định.

Không xác định

Bước 5.5.2.3

Không có đáp án nào cho $e^{x} = 0$

Không có đáp án

Bước 5.6

Đặt $x + 3$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Đặt $x + 3$ bằng với $0$ .

$x + 3 = 0$

Bước 5.6.2

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 3$

Bước 5.7

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $x^{2} e^{x} (x + 3) = 0$ đúng.

$x = 0, - 3$

Bước 6

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Bước 7

Các điểm cực trị cần tính.

$x = 0, - 3$

Bước 8

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 0$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

${(0)}^{3} e^{0} + 6 {(0)}^{2} e^{0} + 6 (0) e^{0}$

Bước 9

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$0 e^{0} + 6 {(0)}^{2} e^{0} + 6 (0) e^{0}$

Bước 9.1.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$0 \cdot 1 + 6 {(0)}^{2} e^{0} + 6 (0) e^{0}$

Bước 9.1.3

Nhân $0$ với $1$ .

$0 + 6 {(0)}^{2} e^{0} + 6 (0) e^{0}$

Bước 9.1.4

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$0 + 6 \cdot 0 e^{0} + 6 (0) e^{0}$

Bước 9.1.5

Nhân $6$ với $0$ .

$0 + 0 e^{0} + 6 (0) e^{0}$

Bước 9.1.6

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$0 + 0 \cdot 1 + 6 (0) e^{0}$

Bước 9.1.7

Nhân $0$ với $1$ .

$0 + 0 + 6 (0) e^{0}$

Bước 9.1.8

Nhân $6$ với $0$ .

$0 + 0 + 0 e^{0}$

Bước 9.1.9

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$0 + 0 + 0 \cdot 1$

Bước 9.1.10

Nhân $0$ với $1$ .

$0 + 0 + 0$

Bước 9.2

Rút gọn bằng cách cộng các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Cộng $0$ và $0$ .

$0 + 0$

Bước 9.2.2

Cộng $0$ và $0$ .

$0$

Bước 10

Vì có ít nhất một điểm với $0$ hoặc đạo hàm bậc hai không xác định, nên ta áp dụng phép kiểm định đạo hàm bậc nhất.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Chia $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị $x$ và làm cho đạo hàm bậc nhất $0$ hoặc không xác định.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, \infty)$

Bước 10.2

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $- 6$ , từ khoảng $(- \infty, - 3)$ trong đạo hàm đầu tiên $x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 6$ trong biểu thức.

$f' (- 6) = {(- 6)}^{3} e^{- 6} + 3 {(- 6)}^{2} e^{- 6}$

Bước 10.2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.2.1.1

Nâng $- 6$ lên lũy thừa $3$ .

$f' (- 6) = - 216 e^{- 6} + 3 {(- 6)}^{2} e^{- 6}$

Bước 10.2.2.1.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 6) = - 216 \frac{1}{e^{6}} + 3 {(- 6)}^{2} e^{- 6}$

Bước 10.2.2.1.3

Kết hợp $- 216$ và $\frac{1}{e^{6}}$ .

$f' (- 6) = \frac{- 216}{e^{6}} + 3 {(- 6)}^{2} e^{- 6}$

Bước 10.2.2.1.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (- 6) = - \frac{216}{e^{6}} + 3 {(- 6)}^{2} e^{- 6}$

Bước 10.2.2.1.5

Nâng $- 6$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (- 6) = - \frac{216}{e^{6}} + 3 \cdot (36 e^{- 6})$

Bước 10.2.2.1.6

Nhân $3$ với $36$ .

$f' (- 6) = - \frac{216}{e^{6}} + 108 e^{- 6}$

Bước 10.2.2.1.7

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 6) = - \frac{216}{e^{6}} + 108 (\frac{1}{e^{6}})$

Bước 10.2.2.1.8

Kết hợp $108$ và $\frac{1}{e^{6}}$ .

$f' (- 6) = - \frac{216}{e^{6}} + \frac{108}{e^{6}}$

Bước 10.2.2.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.2.2.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (- 6) = \frac{- 216 + 108}{e^{6}}$

Bước 10.2.2.2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.2.2.2.1

Cộng $- 216$ và $108$ .

$f' (- 6) = \frac{- 108}{e^{6}}$

Bước 10.2.2.2.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (- 6) = - \frac{108}{e^{6}}$

Bước 10.2.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{108}{e^{6}}$ .

$- \frac{108}{e^{6}}$

Bước 10.3

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $- 2$ , từ khoảng $(- 3, 0)$ trong đạo hàm đầu tiên $x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 2$ trong biểu thức.

$f' (- 2) = {(- 2)}^{3} e^{- 2} + 3 {(- 2)}^{2} e^{- 2}$

Bước 10.3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.2.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $3$ .

$f' (- 2) = - 8 e^{- 2} + 3 {(- 2)}^{2} e^{- 2}$

Bước 10.3.2.1.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 2) = - 8 \frac{1}{e^{2}} + 3 {(- 2)}^{2} e^{- 2}$

Bước 10.3.2.1.3

Kết hợp $- 8$ và $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{e^{2}} + 3 {(- 2)}^{2} e^{- 2}$

Bước 10.3.2.1.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (- 2) = - \frac{8}{e^{2}} + 3 {(- 2)}^{2} e^{- 2}$

Bước 10.3.2.1.5

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{8}{e^{2}} + 3 \cdot (4 e^{- 2})$

Bước 10.3.2.1.6

Nhân $3$ với $4$ .

$f' (- 2) = - \frac{8}{e^{2}} + 12 e^{- 2}$

Bước 10.3.2.1.7

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 2) = - \frac{8}{e^{2}} + 12 (\frac{1}{e^{2}})$

Bước 10.3.2.1.8

Kết hợp $12$ và $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f' (- 2) = - \frac{8}{e^{2}} + \frac{12}{e^{2}}$

Bước 10.3.2.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.2.2.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (- 2) = \frac{- 8 + 12}{e^{2}}$

Bước 10.3.2.2.2

Cộng $- 8$ và $12$ .

$f' (- 2) = \frac{4}{e^{2}}$

Bước 10.3.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{4}{e^{2}}$ .

$\frac{4}{e^{2}}$

Bước 10.4

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $2$ , từ khoảng $(0, \infty)$ trong đạo hàm đầu tiên $x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.1

Thay thế biến $x$ bằng $2$ trong biểu thức.

$f' (2) = {(2)}^{3} e^{2} + 3 {(2)}^{2} e^{2}$

Bước 10.4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.2.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$f' (2) = 8 e^{2} + 3 {(2)}^{2} e^{2}$

Bước 10.4.2.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (2) = 8 e^{2} + 3 \cdot (4 e^{2})$

Bước 10.4.2.1.3

Nhân $3$ với $4$ .

$f' (2) = 8 e^{2} + 12 e^{2}$

Bước 10.4.2.2

Cộng $8 e^{2}$ và $12 e^{2}$ .

$f' (2) = 20 e^{2}$

Bước 10.4.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $20 e^{2}$ .

$20 e^{2}$

Bước 10.5

Vì đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ âm sang dương xung quanh $x = - 3$ , nên $x = - 3$ là một cực tiểu địa phương.

$x = - 3$ là cực tiểu địa phương

Bước 10.6

Vì đạo hàm bậc nhất không thay đổi dấu xung quanh $x = 0$ , nên đây không phải là một cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương.

Không phải là một cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương

Bước 10.7

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = x^{3} e^{x}$ .

$x = - 3$ là cực tiểu địa phương

Bước 11