Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$ on interval $[- 2, - 1]$

Bước 1

Tìm các điểm tới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = {(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Bước 1.1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.2.1

Nhân các số mũ trong ${({(x - 1)}^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{2 \cdot 2}}$

Bước 1.1.1.2.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.1.2.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của ${(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{2 \cdot {(x - 1)}^{2} x - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x - 1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.1.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x - 1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (2 (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.1.4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.4.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.1.4.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.1.4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.1.4.4

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (1 + 0))}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.1.4.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.4.5.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) \cdot 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.1.4.5.2

Nhân $x - 1$ với $1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} (x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.1.5.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.5.2.1.1

Viết lại ${(x - 1)}^{2}$ ở dạng $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{2 ((x - 1) (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.1.5.2.1.2

Khai triển $(x - 1) (x - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.5.2.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.1.5.2.1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.1.5.2.1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.1.5.2.1.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.5.2.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.5.2.1.3.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.1.5.2.1.3.1.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.1.5.2.1.3.1.3

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$\frac{2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.1.5.2.1.3.1.4

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$\frac{2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.1.5.2.1.3.1.5

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} - x - x + 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.1.5.2.1.3.2

Trừ $x$ khỏi $- x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x + 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.1.5.2.1.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.1.5.2.1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.5.2.1.5.1

Nhân $- 2$ với $2$ .

$\frac{(2 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.1.5.2.1.5.2

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{(2 x^{2} - 4 x + 2) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.1.5.2.1.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 x^{2} x - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.1.5.2.1.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.5.2.1.7.1

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.5.2.1.7.1.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.1.5.2.1.7.1.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.5.2.1.7.1.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.1.5.2.1.7.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 x^{1 + 2} - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.1.5.2.1.7.1.3

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.1.5.2.1.7.2

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.5.2.1.7.2.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 (x \cdot x) + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.1.5.2.1.7.2.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.1.5.2.1.8

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.5.2.1.8.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.1.5.2.1.8.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.5.2.1.8.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 (x^{1} x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.1.5.2.1.8.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{1 + 2} - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.1.5.2.1.8.3

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.1.5.2.1.9

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.1.5.2.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} + 2 x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.5.2.2.1

Trừ $2 x^{3}$ khỏi $2 x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 2 x + 0 + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.1.5.2.2.2

Cộng $- 4 x^{2} + 2 x$ và $0$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 2 x + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.1.5.2.3

Cộng $- 4 x^{2}$ và $2 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.1.5.3

Đưa $2 x$ ra ngoài $- 2 x^{2} + 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.5.3.1

Đưa $2 x$ ra ngoài $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 x (- x) + 2 x}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.1.5.3.2

Đưa $2 x$ ra ngoài $2 x$ .

$\frac{2 x (- x) + 2 x (1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.1.5.3.3

Đưa $2 x$ ra ngoài $2 x (- x) + 2 x (1)$ .

$\frac{2 x (- x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.1.5.4

Triệt tiêu thừa số chung của $- x + 1$ và ${(x - 1)}^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.5.4.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x$ .

$\frac{2 x (- (x) + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.1.5.4.2

Viết lại $1$ ở dạng $- 1 (- 1)$ .

$\frac{2 x (- (x) - 1 (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.1.5.4.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{2 x (- (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.1.5.4.4

Viết lại $- (x - 1)$ ở dạng $- 1 (x - 1)$ .

$\frac{2 x (- 1 (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.1.5.4.5

Đưa $x - 1$ ra ngoài $2 x (- 1 (x - 1))$ .

$\frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.1.5.4.6

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.5.4.6.1

Đưa $x - 1$ ra ngoài ${(x - 1)}^{4}$ .

$\frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

Bước 1.1.1.5.4.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

Bước 1.1.1.5.4.6.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 x \cdot (- 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Bước 1.1.1.5.5

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{- 2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

Bước 1.1.1.5.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

Bước 1.1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$ .

$- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

Bước 1.2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}} = 0$

Bước 1.2.2

Cho tử bằng không.

$2 x = 0$

Bước 1.2.3

Chia mỗi số hạng trong $2 x = 0$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = 0$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 1.2.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 1.2.3.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Bước 1.2.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.3.1

Chia $0$ cho $2$ .

$x = 0$

Bước 1.3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Đặt mẫu số trong $\frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

${(x - 1)}^{3} = 0$

Bước 1.3.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Đặt $x - 1$ bằng $0$ .

$x - 1 = 0$

Bước 1.3.2.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 1$

Bước 1.4

Tính $\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Tính giá trị tại $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.1

Thay $0$ bằng $x$ .

$\frac{{(0)}^{2}}{{((0) - 1)}^{2}}$

Bước 1.4.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{0}{{(0 - 1)}^{2}}$

Bước 1.4.1.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.2.1

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$\frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Bước 1.4.1.2.2.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{0}{1}$

Bước 1.4.1.2.3

Chia $0$ cho $1$ .

$0$

Bước 1.4.2

Tính giá trị tại $x = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Thay $1$ bằng $x$ .

$\frac{{(1)}^{2}}{{((1) - 1)}^{2}}$

Bước 1.4.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.2.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{{(1)}^{2}}{0^{2}}$

Bước 1.4.2.2.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{{(1)}^{2}}{0}$

Bước 1.4.2.2.3

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

Bước 1.4.3

Liệt kê tất cả các điểm.

$(0, 0)$

Bước 2

Bỏ các điểm không nằm trong khoảng đang xét ra.

Bước 3

Vì không có giá trị nào của $x$ làm cho đạo hàm bậc nhất bằng $0$ , nên không có cực trị địa phương.

Không có cực trị địa phương

Bước 4

So sánh các giá trị $f (x)$ tìm được với mỗi giá trị của $x$ để xác định cực đại tuyệt đối và cực tiểu tuyệt đối trên khoảng đã cho. Cực đại sẽ xảy ra tại giá trị $f (x)$ cao nhất và cực tiểu sẽ xảy ra tại giá trị $f (x)$ thấp nhất.

Không có cực đại tuyệt đối

Không có cực tiểu tuyệt đối

Bước 5