Giải tích Ví dụ

Tìm Điểm Cực Đại Toàn Cục và Cực Tiểu Toàn Cục trong Khoảng f(x)=x+4/x
Bước 1
Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.1
Tìm đạo hàm.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.1.1
Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của đối với .
Bước 1.1.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 1.2
Tính .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.2.1
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 1.2.2
Viết lại ở dạng .
Bước 1.2.3
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 1.2.4
Nhân với .
Bước 1.3
Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm .
Bước 1.4
Rút gọn.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.4.1
Kết hợp các số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.4.1.1
Kết hợp .
Bước 1.4.1.2
Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.
Bước 1.4.2
Sắp xếp lại các số hạng.
Bước 2
Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.1
Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của đối với .
Bước 2.2
Tính .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.2.1
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 2.2.2
Viết lại ở dạng .
Bước 2.2.3
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng trong đó .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.2.3.1
Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập ở dạng .
Bước 2.2.3.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 2.2.3.3
Thay thế tất cả các lần xuất hiện của với .
Bước 2.2.4
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 2.2.5
Nhân các số mũ trong .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.2.5.1
Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, .
Bước 2.2.5.2
Nhân với .
Bước 2.2.6
Nhân với .
Bước 2.2.7
Nâng lên lũy thừa .
Bước 2.2.8
Sử dụng quy tắc lũy thừa để kết hợp các số mũ.
Bước 2.2.9
Trừ khỏi .
Bước 2.2.10
Nhân với .
Bước 2.3
là hằng số đối với , đạo hàm của đối với .
Bước 2.4
Rút gọn.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.4.1
Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm .
Bước 2.4.2
Kết hợp các số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.4.2.1
Kết hợp .
Bước 2.4.2.2
Cộng .
Bước 3
Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng và giải.
Bước 4
Tìm đạo hàm bậc một.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.1
Tìm đạo hàm bậc một.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.1.1
Tìm đạo hàm.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.1.1.1
Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của đối với .
Bước 4.1.1.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 4.1.2
Tính .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.1.2.1
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 4.1.2.2
Viết lại ở dạng .
Bước 4.1.2.3
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 4.1.2.4
Nhân với .
Bước 4.1.3
Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm .
Bước 4.1.4
Rút gọn.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.1.4.1
Kết hợp các số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.1.4.1.1
Kết hợp .
Bước 4.1.4.1.2
Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.
Bước 4.1.4.2
Sắp xếp lại các số hạng.
Bước 4.2
Đạo hàm bậc nhất của đối với .
Bước 5
Cho đạo hàm bằng rồi giải phương trình .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.1
Cho đạo hàm bằng .
Bước 5.2
Trừ khỏi cả hai vế của phương trình.
Bước 5.3
Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.3.1
Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.
Bước 5.3.2
BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.
Bước 5.4
Nhân mỗi số hạng trong với để loại bỏ các phân số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.4.1
Nhân mỗi số hạng trong với .
Bước 5.4.2
Rút gọn vế trái.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.4.2.1
Triệt tiêu thừa số chung .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.4.2.1.1
Di chuyển dấu âm đầu tiên trong vào tử số.
Bước 5.4.2.1.2
Triệt tiêu thừa số chung.
Bước 5.4.2.1.3
Viết lại biểu thức.
Bước 5.5
Giải phương trình.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.5.1
Viết lại phương trình ở dạng .
Bước 5.5.2
Chia mỗi số hạng trong cho và rút gọn.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.5.2.1
Chia mỗi số hạng trong cho .
Bước 5.5.2.2
Rút gọn vế trái.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.5.2.2.1
Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.
Bước 5.5.2.2.2
Chia cho .
Bước 5.5.2.3
Rút gọn vế phải.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.5.2.3.1
Chia cho .
Bước 5.5.3
Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.
Bước 5.5.4
Rút gọn .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.5.4.1
Viết lại ở dạng .
Bước 5.5.4.2
Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.
Bước 5.5.5
Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.5.5.1
Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của để tìm đáp án đầu tiên.
Bước 5.5.5.2
Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của để tìm đáp án thứ hai.
Bước 5.5.5.3
Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.
Bước 6
Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.1
Đặt mẫu số trong bằng để tìm nơi biểu thức không xác định.
Bước 6.2
Giải tìm .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.2.1
Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.
Bước 6.2.2
Rút gọn .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.2.2.1
Viết lại ở dạng .
Bước 6.2.2.2
Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.
Bước 6.2.2.3
Cộng hoặc trừ .
Bước 7
Các điểm cực trị cần tính.
Bước 8
Tính đạo hàm bậc hai tại . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.
Bước 9
Tính đạo hàm bậc hai.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 9.1
Nâng lên lũy thừa .
Bước 9.2
Chia cho .
Bước 10
là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.
là cực tiểu địa phương
Bước 11
Tìm giá trị y khi .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 11.1
Thay thế biến bằng trong biểu thức.
Bước 11.2
Rút gọn kết quả.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 11.2.1
Chia cho .
Bước 11.2.2
Cộng .
Bước 11.2.3
Câu trả lời cuối cùng là .
Bước 12
Tính đạo hàm bậc hai tại . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.
Bước 13
Tính đạo hàm bậc hai.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 13.1
Nâng lên lũy thừa .
Bước 13.2
Chia cho .
Bước 14
là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.
là cực đại địa phương
Bước 15
Tìm giá trị y khi .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 15.1
Thay thế biến bằng trong biểu thức.
Bước 15.2
Rút gọn kết quả.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 15.2.1
Chia cho .
Bước 15.2.2
Trừ khỏi .
Bước 15.2.3
Câu trả lời cuối cùng là .
Bước 16
Đây là những cực trị địa phương cho .
là một cực tiểu địa phương
là một cực đại địa phuơng
Bước 17