Giải tích Ví dụ

$e^{x} \cos (x) + \sin (x)$ , $(0, 1)$

Bước 1

Viết $e^{x} \cos (x) + \sin (x)$ ở dạng một phương trình.

$y = e^{x} \cos (x) + \sin (x)$

Bước 2

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = 0$ và $y = 1$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{x} \cos (x) + \sin (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = \cos (x)$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 2.2.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 2.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x} + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 2.3

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x} + \cos (x)$

Bước 2.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x) + \cos (x)$

Bước 2.5

Tính đạo hàm tại $x = 0$ .

$- e^{0} \sin (0) + e^{0} \cos (0) + \cos (0)$

Bước 2.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1.1

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$- 1 \cdot 1 \sin (0) + e^{0} \cos (0) + \cos (0)$

Bước 2.6.1.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1 \sin (0) + e^{0} \cos (0) + \cos (0)$

Bước 2.6.1.3

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$- 1 \cdot 0 + e^{0} \cos (0) + \cos (0)$

Bước 2.6.1.4

Nhân $- 1$ với $0$ .

$0 + e^{0} \cos (0) + \cos (0)$

Bước 2.6.1.5

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$0 + 1 \cos (0) + \cos (0)$

Bước 2.6.1.6

Nhân $\cos (0)$ với $1$ .

$0 + \cos (0) + \cos (0)$

Bước 2.6.1.7

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$0 + 1 + \cos (0)$

Bước 2.6.1.8

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$0 + 1 + 1$

Bước 2.6.2

Rút gọn bằng cách cộng các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.1

Cộng $0$ và $1$ .

$1 + 1$

Bước 2.6.2.2

Cộng $1$ và $1$ .

$2$

Bước 3

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng hệ số góc $2$ và một điểm đã cho $(0, 1)$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 2 \cdot (x - (0))$

Bước 3.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - 1 = 2 \cdot (x + 0)$

Bước 3.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Cộng $x$ và $0$ .

$y - 1 = 2 x$

Bước 3.3.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = 2 x + 1$

Bước 4